스틴로드 대수

대수적 위상수학에서 스틴로드 대수(Steenrod代數, 영어: Steenrod algebra)는 유한체 계수의 안정 코호몰로지 연산들로 구성되는 호프 대수이다.

정의

소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, 스틴로드 대수는 안정 코호몰로지 연산으로 구성된, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 위의 등급 호프 대수이다.

홀수 표수

홀수 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.

${\displaystyle \operatorname {P} ^{i}\colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{p})\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {F} _{p})}$

${\displaystyle \beta \colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{p})\to \operatorname {H} ^{H+1}(X;\mathbb {F} _{p})}$

${\displaystyle \operatorname {P} ^{i}}$는 ${\displaystyle i}$차 스틴로드 축소 거듭제곱(영어: Steenrod reduced power)이라고 한다. ${\displaystyle \beta }$는 아벨 군 짧은 완전열 ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} _{p}\to 0}$에 대응하는 복시테인 준동형이다.

이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.

• ${\displaystyle \operatorname {P} ^{i}}$는 자연 변환 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(-;\mathbb {F} _{p})\to \operatorname {H} ^{n+2i(p-1)}(-;\mathbb {F} _{p})}$을 정의한다.
• ${\displaystyle \operatorname {P} ^{0}}$은 항상 항등 함수이다.
• ${\displaystyle \operatorname {P} ^{i}|_{\operatorname {H} ^{2i}(-;\mathbb {F} _{p})}\colon \alpha \mapsto \alpha ^{\smile p}}$이다.
• 만약 ${\displaystyle 2i>n}$이라면 ${\displaystyle \operatorname {P} ^{i}|_{\operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{p})}=0}$이다.
• (카르탕 공식 영어: Cartan formula) ${\displaystyle \operatorname {P} ^{n}(\alpha \smile \beta )=\sum _{i+j=n}\operatorname {P} ^{i}\alpha \smile \operatorname {P} ^{j}\beta }$이다.

짝수 표수

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.

${\displaystyle \operatorname {Sq} ^{i}\colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{2})\to H^{n+i}(X;\mathbb {F} _{2})}$

이를 ${\displaystyle i}$차 스틴로드 제곱(영어: Steenrod square)이라고 한다. (짝수 표수의 경우, ${\displaystyle \operatorname {P} ^{i}=\operatorname {Sq} ^{2i}}$이며 ${\displaystyle \beta =\operatorname {Sq} ^{1}}$이다.)

이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.

• ${\displaystyle \operatorname {Sq} ^{i}}$는 자연 변환 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(-;\mathbb {F} _{p})\to \operatorname {H} ^{n+2i(p-1)}(-;\mathbb {F} _{p})}$을 정의한다.
• ${\displaystyle \operatorname {Sq} ^{0}}$은 항상 항등 함수이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Sq} ^{i}|_{\operatorname {H} ^{i}(-;\mathbb {F} _{p})}\colon \alpha \mapsto \alpha ^{\smile 2}}$이다.
• 만약 ${\displaystyle i>n}$이라면 ${\displaystyle \operatorname {Sq} ^{i}|_{\operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{p})}=0}$이다.
• (카르탕 공식 영어: Cartan formula) ${\displaystyle \operatorname {Sq} ^{n}(\alpha \smile \beta )=\sum _{i+j=n}\operatorname {Sq} ^{i}\alpha \smile \operatorname {Sq} ^{j}\beta }$이다.

구성

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 크기 ${\displaystyle n}$의 집합 위에 자유롭게 작용하는 유한군 ${\displaystyle G}$
• 위상 공간 ${\displaystyle X}$

그렇다면, ${\displaystyle n}$제곱 함수

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X)\to \operatorname {H} ^{ni}(X)}$

${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\smile n}}$

를 생각하자. (만약 코호몰로지가 소수 크기 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 계수이며 ${\displaystyle n=p}$라면 이는 프로베니우스 사상이며, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$-선형 변환을 이룬다. 그러나 일반적으로 이는 선형이 아니다.) 이는 다음과 같이 분해될 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {H} ^{i}(X)&\to &\operatorname {H} ^{ni}(\operatorname {E} G\times _{G}X^{n})&\to &\operatorname {H} ^{ni}(X^{n})\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\operatorname {H} ^{ni}(\operatorname {B} G\times X)&\to &\operatorname {H} ^{ni}(X)\end{matrix}}}$

여기서 각 사상은 다음과 같다.

• ${\displaystyle \operatorname {diag} _{X}^{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(X^{n})\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X^{n})}$는 코호몰로지에 의한 ${\displaystyle \operatorname {diag} _{X}\colon X\to X^{n}}$의 당김이다.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X)\to \operatorname {H} ^{ni}(\operatorname {E} G\times _{G}X^{n})=\operatorname {H} _{G}^{ni}(X^{n})}$: ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {H} ^{i}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle \alpha ^{\times p}\in \operatorname {H} ^{ni}(X^{n})}$을 정의하자. 이는 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle X^{n}}$ 위의 작용에 대하여 불변이므로, 등변 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} _{G}^{ni}(X^{n})}$에 속한다.
• ${\displaystyle (\operatorname {id} _{\operatorname {B} G},\operatorname {diag} _{X})^{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {E} G\times _{G}X^{n})\to \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {B} G\times X)}$는 코호몰로지에 의한 ${\displaystyle (\operatorname {id} _{\operatorname {B} G},\operatorname {diag} _{X})\colon \operatorname {B} G\times X\to \operatorname {B} G\times X^{n}}$의 당김이다. ${\displaystyle \operatorname {diag} _{X}(X)\subseteq X^{n}}$는 ${\displaystyle G}$의 작용의 고정점으로 구성되므로, ${\displaystyle \operatorname {E} G\times _{G}\operatorname {diag} _{X}(X^{n})=\operatorname {B} G\times X}$이다.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {E} G\times _{G}X^{n})\to \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {E} G\times X^{n})\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(X^{n})}$: 몫공간 사상 ${\displaystyle q\colon \operatorname {E} G\times X^{n}\twoheadrightarrow \operatorname {E} G\times _{G}X^{n}}$의 코호몰로지에 의한 당김이다.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {B} G\times X)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X)}$는 생성원 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {H} _{0}(\operatorname {B} G)}$와의 경사곱이다.

이제, ${\displaystyle n=p}$가 소수이며 ${\displaystyle G=\operatorname {Cyc} (p)}$가 순환군이라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \operatorname {B} \operatorname {Cyc} (p)=\mathbb {S} ^{\infty }/\operatorname {Cyc} (p)}$

이다.

특히, ${\displaystyle p=2}$인 경우 분류 공간은 무한 실수 사영 공간

${\displaystyle \operatorname {B} \operatorname {Cyc} (2)=\mathbb {S} ^{\infty }/\operatorname {Cyc} (2)=\mathbb {RP} ^{\infty }}$

이며, 그 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 계수 코호몰로지는

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[w_{1}],\;\deg w_{1}=1}$

이다. (여기서 ${\displaystyle w_{1}}$은 자명한 실수 선다발의 슈티펠-휘트니 특성류이다.) 체 계수의 퀴네트 정리에 따라서

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {B} G\times X;\mathbb {F} _{p})=\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{p})[w_{1}]\quad (\deg w_{1}=1)}$

이다. 따라서, 합성

${\displaystyle \operatorname {Sq} \colon \operatorname {H} ^{i}(X;\mathbb {F} _{2})\to \operatorname {H} ^{2i}(\mathbb {RP} ^{\infty }\times X;\mathbb {F} _{2})}$

을

${\displaystyle \operatorname {Sq} =\sum _{k=0}^{i}\operatorname {Sq} ^{k}w_{1}^{i-k}}$

로 전개한다면 스틴로드 제곱

${\displaystyle \operatorname {Sq} ^{k}\colon \operatorname {H} ^{i}(X;\mathbb {F} _{p})\to \operatorname {H} ^{i+k}(X;\mathbb {F} _{p})}$

을 얻는다.

마찬가지로, ${\displaystyle p}$가 홀수 소수일 경우를 생각하면 스틴로드 축소 거듭제곱을 얻는다.

성질

아뎀 관계

스틴로드 대수는 아뎀 관계(영어: Ádem relation)라는 관계들을 만족시킨다.^[1]

이들은 다음과 같다.^[2] ${\displaystyle p=2}$일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자.

${\displaystyle \operatorname {Sq} (t)=\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}\operatorname {Sq} ^{i}}$

그렇다면, 아뎀 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Sq} (s^{2}+st)\operatorname {Sq} (t^{2})=\cdots [s\leftrightarrow t]}$

여기서 우변은 좌변과 같지만, ${\displaystyle s}$와 ${\displaystyle t}$를 서로 바꾼 것이다.

${\displaystyle p>2}$일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자.

${\displaystyle \operatorname {P} (t)=\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}\operatorname {P} ^{i}}$

그렇다면, 아뎀 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle (1+s\operatorname {Ad} \beta )\operatorname {P} (t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1})\operatorname {P} (s^{p})=\cdots [s\leftrightarrow t]}$

여기서 ${\displaystyle (\operatorname {Ad} \beta )\operatorname {P} =\beta \operatorname {P} -\operatorname {P} \beta }$이며, 우변은 좌변과 같지만, ${\displaystyle s}$와 ${\displaystyle t}$를 서로 바꾼 것이다.

애덤스 스펙트럼 열

유한 차원 CW 복합체 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 계수의 코호몰로지 군은 스틴로드 대수 ${\displaystyle A_{p}}$ 위의 가군을 이룬다. 이 경우, 애덤스 스펙트럼 열(영어: Adams spectral sequence)은 다음과 같은 스펙트럼 열이다.^[3]

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {Ext} _{A_{p}}^{p,q}\left(\operatorname {H} ^{\bullet }(Y;\mathbb {F} _{p}),\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{p})\right)}$

이는 호모토피 군 ${\displaystyle [X,Y]}$의 ${\displaystyle p}$차 꼬임 부분군으로 수렴한다.

특히, ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$가 초구일 때, 애덤스 스펙트럼 열은 초구의 호모토피 군을 계산한다.

역사

${\displaystyle p=2}$의 경우는 노먼 스틴로드가 1947년에 도입하였고,^[4] ${\displaystyle p>2}$인 경우는 노먼 스틴로드가 1953년에 도입하였다.^[5]

아뎀 관계는 멕시코의 수학자 호세 아뎀 차인(스페인어: José Ádem Chaín, 1921~1991)이 1952년에 도입하였다.^[1] 애덤스 스펙트럼 열은 1958년에 존 프랭크 애덤스가 도입하였다.^[3]

같이 보기

• 코호몰로지 연산