쌍선형 변환 (신호 처리)

쌍선형 변환(bilinear transform, 아널드 터스틴의 이름을 따서 터스틴 방법)은 디지털 신호 처리 및 이산 시간 제어이론에서 연속 시간 시스템 표현을 이산 시간으로 변환하고 그 반대로 변환하는 데 사용된다.

쌍선형 변환이 z-평면을 s-평면으로 어떻게 사상하는지. 선형 제어 시스템의 극점에 대한 불안정한 영역은 음영 처리되어 있다.

쌍선형 변환은 등각 사상(즉, 뫼비우스 변환)의 특수한 경우로, 선형, 시불변 (LTI) 필터의 전달 함수 ${\displaystyle H_{a}(s)}$를 연속 함수 시간 영역(종종 아날로그 필터라고 불림)에서 이산 신호 시간 영역(종종 디지털 필터라고 불리지만, 스위치드 커패시터로 구성된 이산 시간 필터인 아날로그 필터도 있음)의 선형, 시프트 불변 필터의 전달 함수 ${\displaystyle H_{d}(z)}$로 변환하는 데 자주 사용된다. 이 변환은 s-평면의 ${\displaystyle j\omega }$ 축, ${\displaystyle \mathrm {Re} [s]=0}$ 상의 위치를 z-평면의 단위원, ${\displaystyle |z|=1}$로 사상한다. 다른 쌍선형 변환은 모든 이산 시간 선형 시스템의 주파수 응답을 왜곡하는 데 사용될 수 있으며(예를 들어 인간 청각 시스템의 비선형 주파수 해상도를 근사화하기 위해), 시스템의 단위 지연 ${\displaystyle \left(z^{-1}\right)}$를 1차 올패스 필터로 대체하여 이산 영역에서 구현할 수 있다.

이 변환은 안정성을 보존하며, 연속 시간 필터의 주파수 응답, ${\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})}$의 모든 지점을 이산 시간 필터의 주파수 응답, ${\displaystyle H_{d}(e^{j\omega _{d}T})}$의 해당 지점으로 사상한다. 이는 아래 주파수 왜곡 섹션에서 보여지는 바와 같이 다소 다른 주파수로 사상된다. 이는 아날로그 필터의 주파수 응답에서 볼 수 있는 모든 특징에 대해, 디지털 필터의 주파수 응답에서 동일한 이득 및 위상 편이를 갖는 해당 특징이 있지만, 다소 다른 주파수에서 나타날 수 있음을 의미한다. 주파수 변화는 낮은 주파수에서는 거의 눈에 띄지 않지만, 나이퀴스트 진동수에 가까운 주파수에서는 상당히 뚜렷하다.

이산 시간 근사

쌍선형 변환은 z-평면을 s-평면으로 정확히 사상하는 자연 로그 함수의 1차 파데 근사이다. 이산 시간 신호에 라플라스 변환을 수행하면(이산 시간 시퀀스의 각 요소가 해당하는 지연된 단위 임펄스에 연결됨), 다음의 치환으로 이산 시간 시퀀스의 Z변환과 정확히 같아진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle T}$는 쌍선형 변환 유도에 사용된 사다리꼴 공식의 수치적분 단계 크기, 즉 샘플링 주기이다.^[1] 위의 쌍선형 근사를 ${\displaystyle s}$에 대해 풀거나 ${\displaystyle s=(1/T)\ln(z)}$에 대한 유사한 근사를 수행할 수 있다.

이 사상의 역변환(및 그 1차 쌍선형 근사)은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}}$

쌍선형 변환은 기본적으로 이 1차 근사를 사용하여 연속 시간 전달 함수 ${\displaystyle H_{a}(s)}$에 대입한다.

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

즉,

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\ }$

안정성 및 최소 위상 속성 보존

연속 시간 인과 필터는 전달 함수의 극점이 복소수 s-평면의 왼쪽 절반에 떨어지면 안정하다. 이산 시간 인과 필터는 전달 함수의 극점이 복소 z-평면의 단위원 내부에 떨어지면 안정하다. 쌍선형 변환은 복소 s-평면의 왼쪽 절반을 z-평면의 단위원 내부로 사상한다. 따라서 연속 시간 영역에서 설계된 안정적인 필터는 그 안정성을 보존하는 이산 시간 영역의 필터로 변환된다.

마찬가지로, 연속 시간 필터는 전달 함수의 영점이 복소 s-평면의 왼쪽 절반에 떨어지면 최소 위상이다. 이산 시간 필터는 전달 함수의 영점이 복소 z-평면의 단위원 내부에 떨어지면 최소 위상이다. 그러면 동일한 사상 속성은 최소 위상인 연속 시간 필터가 그 최소 위상 속성을 보존하는 이산 시간 필터로 변환됨을 보장한다.

일반 LTI 시스템의 변환

일반적인 LTI 시스템은 다음 전달 함수를 갖는다. $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}}$$ 전달 함수 N의 차수는 P와 Q 중 더 큰 값이다(실제로는 시스템이 안정하려면 전달 함수가 고유해야 하므로 대부분 P이다). 쌍선형 변환을 적용하면 $${\displaystyle s=K{\frac {z-1}{z+1}}}$$ 여기서 K는 주파수 왜곡을 사용하는 경우 2/T 또는 다른 값으로 정의되며, 다음과 같다. $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}}$$ 분자와 분모에 (z + 1)⁻¹의 가장 큰 거듭제곱인 (z + 1)^−N을 곱하면 다음과 같다. $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}(z+1)^{N}+b_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+b_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +b_{Q}K^{Q}(z-1)^{Q}(z+1)^{N-Q}}{a_{0}(z+1)^{N}+a_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+a_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +a_{P}K^{P}(z-1)^{P}(z+1)^{N-P}}}}$$ 변환 후에 분자와 분모의 차수가 모두 N임을 알 수 있다.

연속 시간 전달 함수의 극점-영점 형태를 고려해보자. $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {(s-\xi _{1})(s-\xi _{2})\cdots (s-\xi _{Q})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{P})}}}$$ 분자와 분모 다항식의 근인 ξ_i와 p_i는 시스템의 영점 및 극점이다. 쌍선형 변환은 일대일 대응이므로, 이들은 다음을 사용하여 z-영역으로 변환될 수 있다. $${\displaystyle z={\frac {K+s}{K-s}}}$$ 이를 통해 이산화된 전달 함수의 일부 영점과 극점 ξ'_i와 p'_i를 얻을 수 있다. $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&={\frac {K+\xi _{i}}{K-\xi _{i}}}\quad 1\leq i\leq Q\\p'_{i}&={\frac {K+p_{i}}{K-p_{i}}}\quad 1\leq i\leq P\end{aligned}}}$$ 위에 설명된 바와 같이, 분자와 분모의 차수는 이제 모두 N이다. 즉, 영점과 극점의 수가 동일하다. (z + 1)^−N의 곱셈은 추가 영점 또는 극점이 다음과 같음을 의미한다. ^[2] $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&=-1\quad Q<i\leq N\\p'_{i}&=-1\quad P<i\leq N\end{aligned}}}$$ 영점과 극점의 전체 집합이 주어지면, z-영역 전달 함수는 다음과 같다. $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(z-\xi '_{1})(z-\xi '_{2})\cdots (z-\xi '_{N})}{(z-p'_{1})(z-p'_{2})\cdots (z-p'_{N})}}}$$

예시

예를 들어 간단한 저역통과 RC 필터를 보자. 이 연속 시간 필터의 전달 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{a}(s)&={\frac {1/sC}{R+1/sC}}\\&={\frac {1}{1+RCs}}.\end{aligned}}}$

이 필터를 디지털 필터로 구현하려면 위 공식을 ${\displaystyle s}$에 대입하여 쌍선형 변환을 적용할 수 있다. 몇 가지 재작업을 거쳐 다음 필터 표현을 얻는다.

${\displaystyle H_{d}(z)\ }$	${\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{1+RC\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)}}\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1+z}{(1-2RC/T)+(1+2RC/T)z}}\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1+z^{-1}}{(1+2RC/T)+(1-2RC/T)z^{-1}}}.\ }$

분모의 계수는 실시간 디지털 필터 구현에 사용되는 '피드백' 계수이며, 분자의 계수는 '피드포워드' 계수이다.

일반 1차 연속 시간 필터 변환

쌍선형 변환 과정을 통해 생성된 연속 시간 아날로그 필터의 계수와 유사한 이산 시간 디지털 필터의 계수를 연관시키는 것이 가능하다. 주어진 전달 함수를 갖는 일반 1차 연속 시간 필터를 변환하려면

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s+b_{1}}{a_{0}s+a_{1}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}}}}$

쌍선형 변환을 사용하려면(주파수 사전을 워프하지 않고) 다음을 대입해야 한다.

${\displaystyle s\leftarrow K{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}}$

여기서

${\displaystyle K\triangleq {\frac {2}{T}}}$.

그러나 아래에 설명된 주파수 왜곡 보상이 쌍선형 변환에 사용되어 아날로그 및 디지털 필터 이득과 위상이 주파수 ${\displaystyle \omega _{0}}$에서 일치한다면,

${\displaystyle K\triangleq {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}}$.

이것은 원래 연속 시간 필터의 계수 항으로 표현된 계수를 갖는 이산 시간 디지털 필터를 다음과 같이 생성한다.

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K+b_{1})+(-b_{0}K+b_{1})z^{-1}}{(a_{0}K+a_{1})+(-a_{0}K+a_{1})z^{-1}}}}$

일반적으로 분모의 상수 항은 해당 차분 방정식을 유도하기 전에 1로 정규화되어야 한다. 그 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}{1+{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}}.}$

차분 방정식(직접형 I 사용)은 다음과 같다.

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n]+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n-1]-{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot y[n-1]\ .}$

일반 2차 바이쿼드 변환

주어진 전달 함수를 갖는 일반 2차 필터에 대해서도 유사한 과정을 사용할 수 있다.

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}}{a_{0}s^{2}+a_{1}s+a_{2}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}}}\ .}$

그 결과, 원래 연속 시간 필터의 계수를 사용하여 표현된 계수를 갖는 이산 시간 디지털 바이쿼드 필터가 생성된다.

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2})+(2b_{2}-2b_{0}K^{2})z^{-1}+(b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2})z^{-2}}{(a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2})+(2a_{2}-2a_{0}K^{2})z^{-1}+(a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2})z^{-2}}}}$

다시 말하지만, 해당 차분 방정식을 유도하기 전에 분모의 상수 항은 일반적으로 1로 정규화된다. 그 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}{1+{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}}.}$

차분 방정식(직접형 I 사용)은 다음과 같다.

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n]+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-1]+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-2]-{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-1]-{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-2]\ .}$

주파수 왜곡

연속 시간 필터의 주파수 응답을 결정하기 위해 전달 함수 ${\displaystyle H_{a}(s)}$는 ${\displaystyle j\omega }$ 축에 있는 ${\displaystyle s=j\omega _{a}}$에서 평가된다. 마찬가지로, 이산 시간 필터의 주파수 응답을 결정하기 위해 전달 함수 ${\displaystyle H_{d}(z)}$는 단위원 ${\displaystyle |z|=1}$에 있는 ${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$에서 평가된다. 쌍선형 변환은 s-평면의 ${\displaystyle j\omega }$ 축(${\displaystyle H_{a}(s)}$의 정의역)을 z-평면의 단위원 ${\displaystyle |z|=1}$(${\displaystyle H_{d}(z)}$의 정의역)으로 사상하지만, ${\displaystyle j\omega }$ 축을 단위원으로 사상하는 ${\displaystyle z=e^{sT}}$와는 다른 사상이다. 쌍선형 변환을 사용하여 설계된 이산 시간 필터에 실제 주파수 ${\displaystyle \omega _{d}}$가 입력될 때, 이 ${\displaystyle \omega _{d}}$가 연속 시간 필터의 어떤 주파수 ${\displaystyle \omega _{a}}$로 사상되는지 알고자 한다.

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)}$

${\displaystyle H_{d}(e^{j\omega _{d}T})}$	${\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {e^{j\omega _{d}T}-1}{e^{j\omega _{d}T}+1}}\right)}$
	${\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {e^{j\omega _{d}T/2}\left(e^{j\omega _{d}T/2}-e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}{e^{j\omega _{d}T/2}\left(e^{j\omega _{d}T/2}+e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}}\right)}$
	${\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega _{d}T/2}-e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}{\left(e^{j\omega _{d}T/2}+e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}}\right)}$
	${\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega _{d}T/2}-e^{-j\omega _{d}T/2}\right)/(2j)}{\left(e^{j\omega _{d}T/2}+e^{-j\omega _{d}T/2}\right)/2}}\right)}$
	${\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\sin(\omega _{d}T/2)}{\cos(\omega _{d}T/2)}}\right)}$
	${\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot \tan \left(\omega _{d}T/2\right)\right)}$

이는 이산 시간 필터 z-평면의 단위원에 있는 모든 점 ${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$이 연속 시간 필터 s-평면의 ${\displaystyle j\omega }$ 축에 있는 점 ${\displaystyle s=j\omega _{a}}$로 사상됨을 보여준다. 즉, 쌍선형 변환의 이산 시간-연속 시간 주파수 사상은 다음과 같다.

${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$

그리고 역 사상은 다음과 같다.

${\displaystyle \omega _{d}={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right).}$

이산 시간 필터는 주파수 ${\displaystyle \omega _{d}}$에서 연속 시간 필터가 주파수 ${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$에서 행동하는 것과 동일하게 행동한다. 구체적으로, 이산 시간 필터가 주파수 ${\displaystyle \omega _{d}}$에서 갖는 이득과 위상 편이는 연속 시간 필터가 주파수 ${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$에서 갖는 이득과 위상 편이와 동일하다. 이는 연속 시간 필터의 주파수 응답에서 보이는 모든 특징, 모든 "융기"가 이산 시간 필터에서도 보이지만, 다른 주파수에서 나타난다는 것을 의미한다. 낮은 주파수(${\displaystyle \omega _{d}\ll 2/T}$ 또는 ${\displaystyle \omega _{a}\ll 2/T}$일 때)에서는 특징들이 약간 다른 주파수로 사상되며, ${\displaystyle \omega _{d}\approx \omega _{a}}$이다.

전체 연속 주파수 범위는 다음과 같이 볼 수 있다.

${\displaystyle -\infty <\omega _{a}<+\infty }$

근본 주파수 간격으로 사상된다.

${\displaystyle -{\frac {\pi }{T}}<\omega _{d}<+{\frac {\pi }{T}}.}$

연속 시간 필터 주파수 ${\displaystyle \omega _{a}=0}$은 이산 시간 필터 주파수 ${\displaystyle \omega _{d}=0}$에 해당하며, 연속 시간 필터 주파수 ${\displaystyle \omega _{a}=\pm \infty }$는 이산 시간 필터 주파수 ${\displaystyle \omega _{d}=\pm \pi /T}$에 해당한다.

또한 ${\displaystyle \omega _{a}}$와 ${\displaystyle \omega _{d}}$ 사이에 비선형 관계가 있음을 알 수 있다. 쌍선형 변환의 이러한 효과를 주파수 왜곡이라고 한다. 연속 시간 필터는 설계자가 제어할 수 있는 모든 주파수 사양(예: 코너 주파수 또는 중심 주파수)에 대해 ${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$를 설정하여 이 주파수 왜곡을 보상하도록 설계할 수 있다. 이를 필터 설계의 사전 왜곡이라고 한다.

그러나 연속 시간 시스템의 주파수 사양 ${\displaystyle \omega _{0}}$(일반적으로 공진 주파수 또는 주파수 응답의 가장 중요한 특징의 주파수)을 사전 왜곡함으로써 주파수 왜곡을 보상할 수 있다. 이 사전 왜곡된 사양은 쌍선형 변환에 사용되어 원하는 이산 시간 시스템을 얻을 수 있다. 연속 시간 필터의 근사로 디지털 필터를 설계할 때, 연속 필터 전달 함수에 다음 변환을 대입하면 디지털 필터의 주파수 응답(진폭 및 위상 모두)이 지정된 주파수 ${\displaystyle \omega _{0}}$에서 연속 필터의 주파수 응답과 일치하도록 만들 수 있으며, DC에서도 일치한다.^[3] 이는 위에 제시된 터스틴 변환의 수정된 버전이다.

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

그러나 이 변환은 ${\displaystyle \omega _{0}\to 0}$일 때 원래 변환이 된다.

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}$

왜곡 현상의 주요 장점은 임펄스 불변에서 관찰되는 것과 같은 주파수 응답 특성의 에일리어싱 왜곡이 없다는 것이다.

같이 보기

• 임펄스 불변
• 일치 Z-변환법