오각지붕

기하학에서 오각지붕은 존슨의 다면체중 하나이다(J₅). 이것은 마름모십이이십면체의 조각으로 얻을 수 있다. 오각지붕은 정삼각형 5개, 정사각형 5개, 정오각형 1개, 그리고 정십각형 1개로 이루어져있다.

오각지붕
종류	존슨 J4 - J5 - J6
면	삼각형 5개 사각형 5개 오각형 1개 십각형 1개
모서리	25
꼭짓점	15
꼭짓점 배치	10(3.4.10) 5(3.4.5.4)
대칭군	C5v, [5], (*55)
회전군	C5, [5]+, (55)
쌍대다면체	-
특성	볼록
전개도

존슨의 다면체는 정다각형 면을 가지지만 고른 다면체는 아닌 엄격히 볼록인 다면체 92개이다(즉, 플라톤 다면체, 아르키메데스의 다면체, 각기둥, 또는 엇각기둥이 아니다). 이것은 1966년에 이 다면체를 처음으로 나열한 노만 존슨의 이름을 따왔다.^[1]

공식

다음의 부피, 표면적 그리고 외접 반지름의 공식은 모든 면이 변의 길이가 a인 정다각형일 때 쓸 수 있다:^[2]

${\displaystyle V=\left({\frac {1}{6}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)\right)a^{3}\approx 2.32405...a^{3}}$

${\displaystyle A=\left({\frac {1}{4}}\left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5(145+62{\sqrt {5}})}}\right)\right)a^{2}=\left({\frac {1}{4}}\left(20+{\sqrt {10\left(80+31{\sqrt {5}}+{\sqrt {15(145+62{\sqrt {5}})}}\right)}}\right)\right)a^{2}\approx 16.5797...a^{2}}$

${\displaystyle C=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\right)a\approx 2.23295...a}$

관련 다면체

쌍대다면체

오각지붕의 쌍대다면체는 삼각형 면을 10개와 연꼴 면을 5개 가지고 있다:

오각지붕의 쌍대다면체	쌍대다면체의 전개도

다른 볼록 지붕

볼록한 지붕족

n	3	4	5	6
이름	{3} || t{3}	{4} || t{4}	{5} || t{5}	{6} || t{6}
지붕	삼각지붕	사각지붕	오각지붕	육각지붕 (평면)
관련된 고른 다면체	육팔면체	마름모육팔면체	마름모 십이이십면체	마름모삼육각형 타일링

교차된 별 오각지붕

기하학에서 교차된 별 오각지붕은 볼록 오각지붕과 위상적으로 동일한 비볼록 존슨의 다면체 동형체이다. 이 다면체는 오각지붕을 마룸모십이이십면체를 자른 것에서 얻은 것과 유사하게 비볼록 큰 마름모십이이십면체 또는 준 마름모십이이십면체를 자른 것으로 얻을 수 있다. 다른 모든 지붕과 같이, 다각형 밑면은 윗면의 변과 꼭짓점의 두 배를 가지고 있다; 이 경우에 밑면은 십각성이다.

이 다면체는 뒤집힌 오각성 밑면을 가져서 사각형과 삼각형이 밑면을 통과해서 별 오각지붕의 반대로 붙어있어서 서로 더 깊게 교차하는 지붕으로 볼 수 있다.