요르단 삼항 대수

추상대수학에서 요르단 삼항 대수(Jordan三項代數, 영어: Jordan triple algebra)는 어떤 특별한 항등식을 만족시키는 3쌍 선형 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모든 요르단 대수와, 특정한 대합을 갖는 등급 리 대수는 표준적으로 요르단 삼항 대수의 구조를 갖는다. 또한, 요르단 3항 대수에 대하여, 그 위의 “등각 변환”으로 구성되는 더 큰 리 대수가 존재한다. 이 구성을 칸토르-쾨허-티츠 구성(Кантор-Koecher-Tits構成, 영어: Kantor–Koecher–Tits construction)이라고 하며, 이를 통해 일부 예외 단순 리 대수(E₇, E₆, F₄)를 구성할 수 있다.

정의

요르단 삼항 대수

표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 요르단 삼항 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.^[1]

• ${\displaystyle K}$-벡터 공간 ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle K}$-선형 변환 ${\displaystyle \langle -\rangle \colon A\otimes _{K}A\otimes _{K}A\to A}$, ${\displaystyle x\otimes y\otimes z\mapsto \langle xyz\rangle }$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• (대칭성) ${\displaystyle \langle x,y,z\rangle =\langle z,y,x\rangle }$
• ${\displaystyle \langle u,v,\langle x,y,z\rangle \rangle -\langle x,y,\langle u,v,z\rangle \rangle =\langle \langle u,v,x\rangle ,y,z\rangle -\langle x,\langle y,u,v\rangle ,z\rangle }$

성질

요르단 대수 → 요르단 3항 대수

요르단 대수 ${\displaystyle (A,\star )}$가 주어졌을 때

${\displaystyle \langle x,y,z\rangle =(x\star y)\star z+x\star (y\star z)-y\star (x\star z)}$

를 정의하면, 이는 요르단 3항 대수를 이룸을 쉽게 확인할 수 있다.

리 대수 → 요르단 3항 대수

${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 가 ${\displaystyle \{-1,0,+1\}}$ 값의 등급을 갖는다고 하자.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{0},{\mathfrak {g}}_{i}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{1}]=[{\mathfrak {g}}_{-1},{\mathfrak {g}}_{-1}]=0}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{-1}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{0}}$

또한, ${\displaystyle K}$-선형 변환 ${\displaystyle \tau \colon {\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}}$이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle \tau }$는 리 대수의 자기 동형을 이룬다.
• (대합) ${\displaystyle \tau (\tau (x))=x\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}}$
• (등급과의 호환) ${\displaystyle \tau (x)\in {\mathfrak {g}}_{-i}\forall i\in \{0,\pm 1\},\;x\in {\mathfrak {g}}_{i}}$

그렇다면,

${\displaystyle \langle x,y,z\rangle =[[x,\tau (y)],z]}$

를 정의하면 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 요르단 3항 대수를 이룬다.

요르단 3항 대수 → 리 대수

이제, 요르단 3항 대수 ${\displaystyle (A,\langle -,-,-\rangle )}$가 주어졌을 때, 다항 함수 ${\displaystyle A\to A}$의 결합 대수

${\displaystyle A\otimes K[A]}$

를 생각하자. 이는 함수의 합성에 의하여 자연수 등급의 등급 대수를 이루며, 대수의 연산을 리 괄호 ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$만 남기고 잊으면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

이제, 다음과 같은 세 ${\displaystyle K}$-벡터 공간을 정의하자.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}=\{x\mapsto a\colon a\in A\}=(A\otimes _{K}K[A])_{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}=\operatorname {Span} _{K}\{x\mapsto \langle a,b,x\rangle \colon a,b\in A\}\subseteq (A\otimes _{K}K[A])_{1}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}=\left\{x\mapsto -{\frac {1}{2}}\langle x,u,x\rangle \colon u\in A\right\}\subseteq (A\otimes _{K}K[A])_{2}}$

이는 ${\displaystyle A}$ 위의 상수 함수 · 선형 함수 · 2차 함수로 구성된다.

이는 일반적으로 ${\displaystyle A\otimes _{K}K[A]}$의 함수의 합성에 대하여 닫혀 있지 않지만, 대신 리 괄호에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 즉, 이는 ${\displaystyle K}$-리 대수를 이루며, 또한 ${\displaystyle \{-1,0,+1\}}$ 값의 등급을 갖는다. 또한, 이 구조에는

${\displaystyle \tau \colon {\mathfrak {g}}_{i}\mapsto {\mathfrak {g}}_{-i}}$

${\displaystyle \tau \colon ((x\mapsto u)\in {\mathfrak {g}}_{-1})\mapsto ((x\mapsto -{\tfrac {1}{2}}\langle x,u,x\rangle )\in {\mathfrak {g}}_{1}}$

${\displaystyle \tau \colon ((x\mapsto \langle u,v,x\rangle )\in {\mathfrak {g}}_{0})\mapsto ((x\mapsto \langle \tau (u),\tau (v),x\rangle )\in {\mathfrak {g}}_{0})}$

와 같은 대합이 주어진다.

이를 ${\displaystyle A}$에 대응되는 칸토르-쾨허-티츠 구성이라고 하며, ${\displaystyle {\mathfrak {con}}(A)}$로 표기한다. 또한, 그 등급 0의 부분 리 대수를 ${\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}(A)}$로 표기한다.

만약 ${\displaystyle A}$가 항등원을 갖는 요르단 대수를 이룬다면, 리 대수 준동형

${\displaystyle K\to {\mathfrak {con}}_{0}(A)}$

${\displaystyle \alpha \mapsto (x\mapsto \alpha x)}$

이 존재한다. (여기서 정의역은 아벨 리 대수이다.) 또한, 그 치역은 리 대수의 중심의 부분이므로 리 대수 아이디얼을 이루어, 이에 대한 몫을 취할 수 있다. 이 대수를

${\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}'({\mathfrak {A}})={\frac {{\mathfrak {con}}_{0}}{K}}}$

로 표기하자. 사실, ${\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}(A)}$의 모든 원소는

${\displaystyle T={\frac {1}{\dim _{K}A}}\operatorname {tr} (T)+\left(T-{\frac {1}{\dim _{K}A}}\operatorname {tr} (T)\right)}$

와 같이 대각합과 무대각합 성분으로 표준적으로 분해되므로, 이는 표준적으로 직합

${\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}(A)=K\oplus {\mathfrak {con}}'_{0}(A)}$

을 이룬다.

또한, ${\displaystyle A}$가 요르단 대수일 때, 그 이항 연산 ${\displaystyle \star }$을 보존하는 미분 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}$가 존재하며, 이는 ${\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}'(A)}$의 부분 대수를 이룬다.

${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\subseteq {\mathfrak {con}}_{0}'(A)}$

예

요르단 대수에 대응되는 리 대수의 예는 다음과 같다.^{[2]:§§4–5}

요르단 대수 ${\displaystyle A}$	${\displaystyle {\mathfrak {con}}(A)}$	${\displaystyle {\mathfrak {con}}_{0}'(A)}$	${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}$
${\displaystyle \operatorname {H} (1;\mathbb {K} )=\mathbb {R} }$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )={\mathfrak {o}}(1,2)}$	0	0
${\displaystyle \operatorname {H} (2;\mathbb {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,2+\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,1+\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(1+\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K}$ ;\mathbb {R} )}
${\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {O} )}$ (앨버트 대수)	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-25)}}$ (E₇ 리 대수)	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(-26)}}$ (E₆ 리 대수)	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$ (콤팩트 F₄ 리 대수)
${\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(12)}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(6)={\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(6)={\mathfrak {su}}(3;\mathbb {H} )}$
${\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3,3)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$
${\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(6;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3)}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {H} (n,\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle K}$ 계수의 ${\displaystyle n\times n}$ 에르미트 행렬로 구성된 요르단 대수이다.
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$는 실수체 (${\displaystyle \mathbb {R} }$), 복소수체 (${\displaystyle \mathbb {C} }$), 사원수 대수 (${\displaystyle \mathbb {H} }$), 팔원수 대수 (${\displaystyle \mathbb {O} }$) 가운데 하나이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {con}}(\operatorname {H} (2;\mathbb {K} ))}$의 ${\displaystyle \{0,\pm 1\}}$ 등급 및 대합은 등각 대칭군으로서 주어진다. 즉, 우변을 ${\displaystyle 2+\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} \in \{3,4,6,10\}}$차원 민코프스키 공간 위의 등각 변환들의 군으로 여긴다.

역사

칸토어-쾨허-티츠 구성은 자크 티츠^[3] · 이사이 리보비치 칸토르^[4](러시아어: Исай Львович Кантор, 1936~2006) · 막스 쾨허^[5](독일어: Max Koecher, 1924~1990)가 1960년대에 도입하였다.