E₇

리 군론에서 E₇은 복소수 예외적 단순 리 군의 하나이다.^[1][2] 133차원이며, 예외적 단순 리 군 가운데 E₈ 다음으로 두 번째로 크다.

E₇의 딘킨 도표

정의

E₇은 여러 방법으로 정의할 수 있다.

56차원 표현을 통한 정의

E₇은 충실한 56차원 실수 표현을 가지며, 따라서 다음과 같이 정의할 수 있다.^{[3]:Appendix B[4]:§B.1}

${\displaystyle V}$가 8차원 실수 벡터 공간이라고 하고, ${\displaystyle W}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle W=\bigwedge ^{2}V\oplus \bigwedge ^{2}V^{*}}$

이는 자연스럽게 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다. 이 위에 다음과 같은 4차 형식을 정의하자.

${\displaystyle q(v^{-,-},w_{-,-})=v^{ij}w_{jk}v^{kl}w_{li}-{\frac {1}{4}}v^{ij}w_{ij}v^{kl}w_{kl}+{\frac {1}{96}}\left(\epsilon _{ijklmnpq}v^{ij}v^{kl}v^{mn}v^{pq}+\epsilon ^{ijklmnpq}w_{ij}w_{kl}w_{mn}w_{pq}\right)}$

그렇다면 심플렉틱 형식과 4차 형식 ${\displaystyle q}$를 보존하는 56차원 실수 선형 변환들의 부분군은 E₇의 분할 형식 E₇₍₇₎과 동형이다.

사원수 또는 팔원수를 사용한 정의

한스 프로이덴탈은 팔원수를 사용한 E₇의 구성을 제시하였다.^[5] 이 밖에도, 팔원수를 사용한 다른 구성^[6][7] 이나, 사원수를 사용한 E₇의 구성 또한 알려져 있다.^[8][9]

Spin(12)를 통한 정의

E₇은 Spin(12)×SU(2)를 극대 부분군으로 가지므로, 이로부터 E₇을 정의할 수 있다.^[2]:§4.11 구체적으로, E₇의 딸림표현 133은 Spin(12)×SU(2) 아래 딸림표현 및 (32, 2)로 분해된다. 여기서 32는 Spin(12)의 바일 스피너 표현이다.

이 경우, A₁의 가능한 실수 형식은 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}$와 SU(2) 두 가지가 있다.

• 전자 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )}$의 경우, 정의 표현 2는 실수 표현이다. 따라서, Spin(12)의 표현 32 역시 실수 표현이어야 한다. 즉, 이는 마요라나-바일 스피너가 되어야 한다. 12차원에서, 마요라나-바일 스피너가 존재하는 계량 부호수는 (10,2) 및 (6,6) 두 가지 밖에 없다. 이들은 각각 단순 리 대수 D₆₍₋₂₆₎⊕A₁₍₁₎ 및 D₆₍₆₎⊕A₁₍₁₎ (분할)에 해당한다. 이로부터, E₇의 두 실수 형식 E₇₍₋₂₅₎ 및 E₇₍₇₎ (분할)을 얻는다.
• 후자 SU(2)의 경우, 정의 표현 2는 사원수 표현이다. 즉, 이 경우 Spin(12)의 바일 스피너 역시 사원수 표현이어야 한다. 이러한 경우인 계량 부호수는 (12,0) 및 (8,4) 두 가지 밖에 없다. 이들은 각각 단순 리 대수 D₆₍₋₆₆₎⊕A₁₍₋₃₎ (콤팩트) 및 D₆₍₋₂₎⊕A₁₍₋₃₎에 해당한다. 이로부터, E₇의 두 실수 형식 E_7(−133) (콤팩트) 및 E₇₍₋₅₎를 얻는다.

실수 형식

E₇은 네 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).

기호	다른 기호	설명	기본군	외부자기동형군	사타케 도표	보건 도표
E7(−133)		콤팩트 형식	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	1	${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet }$	${\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ }$
E7(7)	EⅤ	갈린(split) 형식	${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ }$	${\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ }$
E7(−5)	EⅥ		${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	1	${\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\bullet -\circ -\bullet }$	${\displaystyle \bullet -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ }$
E7(−25)	EⅦ		${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	${\displaystyle \circ -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\circ -\circ }$	${\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\bullet }$

성질

대수적 성질

E₇은 133차원의 리 군이다. (중심이 없는) 콤팩트 형식의 기본군은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$이며, 자명하지 않은 외부자기동형사상을 가지지 않는다.

E₇의 주요 극대 부분군은 다음과 같다.

• ${\displaystyle (E_{6}\times \operatorname {U} (1))/(\mathbb {Z} /3)}$.^[2]:§4.10 이는 E₇ 딘킨 도표에서, 흰 색의 꼭짓점을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\circ \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet }$

• ${\displaystyle (\operatorname {Spin} (12)\times \operatorname {SU} (2))/(\mathbb {Z} /2)}$.^[2]:§4.11 이는 E₇ 딘킨 도표에서, ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ${\displaystyle \circ }$을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \circ -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }-\circ -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }\qquad \bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet }$

• ${\displaystyle \operatorname {SU} (8)/(\mathbb {Z} /2)}$.^[2]:§4.12 이는 E₇ 딘킨 도표에서, ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ${\displaystyle \circ }$을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }-\bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }$

• ${\displaystyle \left(\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)\right)/(\mathbb {Z} /3)}$.^[2]:§4.13 이는 E₇ 딘킨 도표에서, ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ${\displaystyle \circ }$을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\circ -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }-\bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\circ -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }-\bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}\qquad \bullet -\bullet }$

E₇은 E₈의 부분군이다. 구체적으로, E₈은 ${\displaystyle (E_{7}\times \operatorname {SU} (2))/(\mathbb {Z} /2)}$ 부분군을 갖는다.^[2]:§5.7 이는 E₈ 딘킨 도표에서, ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ${\displaystyle \circ }$을 제거하여 얻는다.

${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\circ \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\circ -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet \qquad {\scriptstyle \otimes }}$

위상수학적 성질

E₇의 무중심 콤팩트 형식은 133차원 콤팩트 연결 매끄러운 다양체이다. 그 호모토피 군은 다음과 같다.^[10]

${\displaystyle \pi _{1}(E_{7})\cong \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle \pi _{3}(E_{7})\cong \pi _{11}(E_{7})\cong \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \pi _{n}(E_{7})\cong 0,\qquad n<11,n\neq 1,3}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$의 불변 다항식의 차수는 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18이다. 즉, E₇의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 11차 · 15차 · 19차 · 23차 · 27차 · 35차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

근계

E₇의 126개의 근들은 고른 폴리토프 2₃₁을 이룬다.

E₇의 근계는 126개의 7차원 벡터로 구성된다. E₇의 SU(8) 부분군을 사용하여 8차원 벡터로 나타내면, 그 근들은 구체적으로 다음과 같다.

• 다음 ${\displaystyle 8\times 7=56}$개의 근 (이는 SU(8) 근계를 이룬다):

  ${\displaystyle (1,-1,0,0,0,0,0,0)}$의 모든 순열

• 다음 ${\displaystyle \textstyle {\binom {8}{4}}=70}$개의 근 (이는 SU(8)의 70 표현의 무게를 이룬다):

  ${\displaystyle (1/2,1/2,1/2,1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2)}$의 모든 순열

이는 E₇의 딸림표현의 분해

${\displaystyle \mathbf {133} _{E_{7}}\to \mathbf {63} _{\operatorname {SU} (8)}\oplus \mathbf {70} _{\operatorname {SU} (8)}}$

를 바탕으로 한 것이다. 여기서 70은 SU(8)에서, 영 타블로

${\displaystyle {\begin{matrix}\square \\\square \\\square \\\square \end{matrix}}}$

에 대응하는 ${\displaystyle \textstyle {\binom {8}{4}}=70}$차원 표현이다.

E₇의 126개의 근들은 7차원에 존재하는 고른 폴리토프 2₃₁을 이룬다. 이는 126개의 꼭짓점, 2016개의 변, 10080개의 정삼각형 면, 20160개의 정사면체 3차원 초면, 16128개의 4차원 초면, 4788개의 5차원 초면, 632개의 6차원 초면으로 구성된다.

E₇의 바일 군의 크기는 ${\displaystyle 2^{10}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7=293040}$이다. 이는 2차 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$와 크기 1451520의 유일한 단순군의 직접곱이다. 후자는 ${\displaystyle \operatorname {PSp} (6;\mathbb {F} _{2})}$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {PS\Omega } (7;\mathbb {F} _{2})}$로 표기할 수 있다.^[11]:46

${\displaystyle \operatorname {Weyl} (E_{7})\cong (\mathbb {Z} /2)\times \operatorname {PSp} (6;\mathbb {F} _{2})\cong (\mathbb {Z} /2)\times \operatorname {PS\Omega } (7;\mathbb {F} _{2})}$

E₇의 딘킨 도표는 다음과 같이 7개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변은 1겹이다(영어: simply laced). 중심 꼭짓점에서 3개의 "팔"이 뻗어나오며, 팔의 길이는 각각 1, 2, 3이다.

${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet }$

E₇의 아핀 딘킨 도표는 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변은 1겹이다. 길이가 2인 팔에 ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시된 새 꼭짓점이 추가되어, E₇ 아핀 딘킨 도표는 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 대칭을 보인다.

${\displaystyle {\scriptstyle \otimes }-\bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet }$

표현론

E₇의 기약 표현의 차원들은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A121736).^{[12]:112, Table 52}

1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750, 573440, 617253, 861840, 885248, 915705, 980343, 2273920, 2282280, 2785552, 3424256, 3635840, …

E₇의 바일 군은 ${\displaystyle v\mapsto -v}$를 포함하므로, 모든 기약 표현은 실수 표현이거나 사원수 표현이다. E₇의 기본 표현들은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이며, 딸림표현은 133이다. 딸림표현은 물론 실수 표현이며, 56차원 정의 표현은 사원수 표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.^{[12]:112, Table 52}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\overset {\mathbf {133} }{\bullet }}&-&{\overset {\mathbf {8645} }{\bullet }}\\&&{\underset {\mathbf {912} }{\bullet }}\end{matrix}}\rangle {\underset {\mathbf {365750} }{\bullet }}-{\underset {\mathbf {27664} }{\bullet }}-{\underset {\mathbf {1539} }{\bullet }}-{\underset {\mathbf {56} }{\bullet }}}$

E₇은 E₈의 부분군이다. 정확히 말하면, (E₇×SU(2))/(−1,−1)은 E₈의 극대 부분군(maximal subgroup)이다. 이는 딘킨 도표로 쉽게 확인할 수 있다. 이에 따라, E₈의 딸림표현 248은 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle \mathbf {248} _{E_{8}}\to (\mathbf {133} _{E_{7}},\mathbf {1} _{SU(2)})\oplus (\mathbf {56} _{E_{7}},\mathbf {2} _{SU(2)})\oplus (\mathbf {1} _{E_{7}},\mathbf {3} _{SU(2)})}$

즉, E₈의 딸림표현 248은 E₇의 딸림표현 133과 기본 표현 56 및 자명한 표현 1로 분해된다.

마찬가지로, E₇의 표현들은 그 부분군의 표현으로 다음과 같이 분해된다.^{[12]:112, Table 52}

${\displaystyle \mathbf {56} _{E_{7}}\to \mathbf {27} _{E_{6}}\oplus {\overline {\mathbf {27} }}_{E_{6}}\oplus \mathbf {1} _{E_{6}}\oplus \mathbf {1} _{E_{6}}}$

${\displaystyle \mathbf {133} _{E_{7}}\to \mathbf {78} _{E_{6}}\oplus \mathbf {27} _{E_{6}}\oplus {\overline {\mathbf {27} }}_{E_{6}}\oplus \mathbf {1} _{E_{6}}}$

${\displaystyle \mathbf {56} _{E_{7}}\to \mathbf {28} _{\operatorname {SU} (8)}\oplus {\overline {\mathbf {28} }}_{\operatorname {SU} (8)}}$

${\displaystyle \mathbf {133} _{E_{7}}\to \mathbf {63} _{\operatorname {SU} (8)}\oplus \mathbf {70} _{\operatorname {SU} (8)}}$

${\displaystyle \mathbf {56} _{E_{7}}\to (\mathbf {12} ,\mathbf {2} )_{\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)}\oplus (\mathbf {32} ,\mathbf {1} )_{\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)}}$

${\displaystyle \mathbf {133} _{E_{7}}\to (\mathbf {66} ,\mathbf {1} )_{\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)}\oplus (\mathbf {1} ,\mathbf {3} )_{\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)}\oplus (\mathbf {32'} ,\mathbf {2} )_{\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)}}$

${\displaystyle \mathbf {56} _{E_{7}}\to (\mathbf {6} ,\mathbf {3} )_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}\oplus ({\bar {\mathbf {6} }},{\bar {\mathbf {3} }})_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}\oplus (\mathbf {20} ,\mathbf {1} )_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}}$

${\displaystyle \mathbf {133} _{E_{7}}\to (\mathbf {35} ,\mathbf {1} )_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}\oplus (\mathbf {1} ,\mathbf {8} )_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}\oplus (\mathbf {3} ,{\overline {\mathbf {15} }})_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}\oplus ({\overline {\mathbf {3} }},\mathbf {15} )_{\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (3)}}$

대수기하학적 성질

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}(\mathbb {Z} )}$ 및 군 ${\displaystyle E_{7}(\mathbb {Z} )}$을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$에 대한 계수의 슈발레 군 ${\displaystyle E_{7}(\mathbb {F} _{q})}$을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 구성이 가능하다.

• ${\displaystyle E_{7}}$의 범피복군 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$의 유한체 계수 형식 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}(\mathbb {F} _{q})}$
• ${\displaystyle E_{7}}$의 무중심 형식의 유한체 계수 형식 ${\displaystyle E_{7}(\mathbb {F} _{q})}$

이들의 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle |{\tilde {E}}_{7}(\mathbb {F} _{q})|=q^{63}(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^{10}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{2}-1)}$

${\displaystyle |E_{7}(\mathbb {F} _{q})|={\frac {1}{\gcd\{2,q-1\}}}|{\tilde {E}}_{7}(\mathbb {F} _{q})|}$

${\displaystyle E_{7}(\mathbb {F} _{q})}$는 모든 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$에 대하여 유한 단순군이다. 이 가운데 가장 작은 두 군의 크기는 다음과 같다 (OEIS의 수열 A008870).

${\displaystyle |E_{7}(\mathbb {F} _{2})|\approx 8.00\times 10^{39}}$

${\displaystyle |E_{7}(\mathbb {F} _{3})|\approx 1.27\times 10^{63}}$

${\displaystyle E_{7}(\mathbb {F} _{3})}$은 이미 괴물군보다 더 크다.

응용

11차원 초중력을 4차원으로 축소화할 경우, E₇ U-이중성 대칭군이 존재한다.^[3][13][14] 이는 11차원 초중력 대신 M이론 전체를 생각할 경우 이산 부분군으로 깨지게 된다.

E₇은 또한 일부 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초등각 장론의 자이베르그 이중성으로 등장한다.^[15]