작용소군

추상대수학에서 작용소군(作用素群, 영어: operator group)은 어떤 모노이드의 작용을 갖춘 군이다. 군과 가군의 공통적인 일반화이다.

정의

작용소군 ${\displaystyle (G,\Omega ,\phi )}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[1]:151

• ${\displaystyle G}$는 군이다.
• ${\displaystyle \Omega }$는 모노이드이다. 이 모노이드의 원소를 작용소(영어: operator)라고 한다.
• ${\displaystyle \phi \colon \Omega \to \operatorname {End} (G)}$는 모노이드의 준동형이다.

일부 저자들은 ${\displaystyle \Omega }$가 반군(즉, 단위원을 가지지 않을 수 있음)일 경우를 허용하기도 한다. 이 경우, 자명하게 항등원을 추가할 수 있으므로 사실상 같은 개념을 얻는다.

작용소 모노이드가 ${\displaystyle \Omega }$인 작용소군을 ${\displaystyle \Omega }$-작용소군(영어: ${\displaystyle \Omega }$-group)이라고 한다. 주어진 ${\displaystyle \Omega }$에 대하여, ${\displaystyle \Omega }$-작용소군들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. ${\displaystyle \Omega }$-작용소군에서, ${\displaystyle \Omega }$의 구조를 보존시키는 부분군을 허용 가능 부분군(영어: admissible subgroup)이라고 한다.^[1]:151

예

작용소군의 대표적인 예로는 다음이 있다.

군	작용소 집합 ${\displaystyle \Omega }$	작용	허용 가능 부분군
${\displaystyle G}$	한원소 집합 ${\displaystyle \{\bullet \}}$	항등 함수	(임의의) 부분군
${\displaystyle G}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle g\colon h\mapsto ghg^{-1}}$	정규 부분군
${\displaystyle G}$	자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} G}$	자기 사상의 작용	특성 부분군(영어: characteristic subgroup)
${\displaystyle G}$	자기 준동형 모노이드 ${\displaystyle \operatorname {End} G}$	자기 사상의 작용	완전 불변 부분군(영어: fully invariant subgroup)
${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$	환의 곱셈 모노이드 ${\displaystyle (R,\cdot )}$	가군 작용	부분 가군

응용

조르당-횔더 정리는 적어도 하나의 합성열을 갖는 작용소군에 대하여 성립한다. 이를 통해, 군에 대한 조르당-횔더 정리와 가군에 대한 조르당-횔더 정리를 공통적으로 일반화할 수 있다.