작은 군의 목록

크기가 31 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다. 특정한 유한군이 아래에서 어떤 군과 동형인지 알고 싶으면, 먼저 그 크기를 계산한 뒤, 아래에서 그 크기의 군들과 군론적 성질들이 일치하는지를 하나씩 비교해보면 된다.

용어 및 표기법

• Z_n: 크기가 ${\displaystyle n}$인 순환군. C_n이나 Z/nZ로 표기하기도 한다.
• Dih_n: 크기가 ${\displaystyle 2n}$인 정이면체군. D_n이나 D_2n으로 표기하기도 한다.
• S_n: 크기가 ${\displaystyle n!}$인 대칭군.
• A_n: 크기가 ${\displaystyle n!/2}$인 교대군.
• Dic_n: 크기가 4n의 쌍순환군.

G × H는 군 G와 H의 직접곱을 나타낸다. Gⁿ은 G를 자기 자신과 n번 직접곱한 것이다. (예를 들어, G² = G × G.) H가 G에 작용할 때 ${\displaystyle G\rtimes H}$는 반직접곱을 나타낸다. (자명한 방법을 제외하고) 어떤 식으로 작용하든 반직접곱을 계산하면 같은 동형류에 속하는 경우에는 구체적인 작용 방법을 생략한다.

두 군이 서로 동형이라는 것은 등호(=)로 나타낸다. 마디 그래프에서 단위원은 검은색 원으로 나타낸다. 위수 16부터는 하나의 마디 그래프가 서로 동형이 아닌 여러 군에 대응되지 않는 경우가 발생한다. 부분군의 목록에서 자명군은 생략하며, 서로 동형인 부분군을 여러 개 포함한 경우에는 그 개수를 괄호 안에 표시한다.

아벨 군

 아벨 군 문서를 참고하십시오.

유한 아벨 군은 전부 순환군의 직합이므로 간단히 분류할 수 있다. 크기가 31 이하인 아벨 군들의 목록은 다음과 같다.

크기	군	부분군	성질	마디 그래프
1	자명군 = Z1 = S1 = A2	-	여러 가지 성질들이 자명하게 성립
2	Z2 = S2 = Dih1	-	단순군
3	Z3 = A3	-	단순군
4	Z4	Z2
	클라인 4원군 = Z2 2 = Dih2	Z2 (3)	가장 작은 비순환군
5	Z5	-	단순군
6	Z6 = Z3 × Z2	Z3 , Z2
7	Z7	-	단순군
8	Z8	Z4 , Z2
	Z4 ×Z2	Z22, Z4 (2), Z2 (3)
	Z23	Z22 (7) , Z2 (7)	항등원이 아닌 원소들은 파노 평면의 점들에 대응되며, Z2 × Z2 부분군들은 직선에 대응
9	Z9	Z3
	Z32	Z3 (4)
10	Z10 = Z5 × Z2	Z5 , Z2
11	Z11	-	단순군
12	Z12 = Z4 × Z3	Z6 , Z4 , Z3 , Z2
	Z6 × Z2 = Z3 × Z22	Z6 (2), Z3, Z2 (3)
13	Z13	-	단순군
14	Z14 = Z7 × Z2	Z7 , Z2
15	Z15 = Z5 × Z3	Z5 , Z3
16	Z16	Z8 , Z4 , Z2
	Z24	Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)
	Z4 × Z22	Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6)
	Z8 × Z2	Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2
	Z42	Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)
17	Z17		순환군, 단순군
18	Z18 = Z9 × Z2	Z9, Z6, Z3, Z2	순환군
	Z6 × Z3 = Z32 × Z2	Z6, Z3, Z2
19	Z19		순환군, 단순군
20	Z20 = Z5 × Z4	Z20, Z10, Z5, Z4, Z2	순환군
	Z10 × Z2 = Z5 × Z22	Z5, Z2
21	Z21 = Z7 × Z3	Z7, Z3	순환군
22	Z22 = Z11 × Z2	Z11, Z2	순환군
23	Z23	–	순환군, 단순군
24	Z24 = Z8 × Z3	Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2	순환군
	Z12 × Z2 = Z6 × Z4 = Z4 × Z3 × Z2	Z12, Z6, Z4, Z3, Z2
	Z6 × Z22	Z6, Z3, Z2
25	Z25	Z5	순환군
	Z52	Z5
26	Z26 = Z13 × Z2	Z13, Z2	순환군
27	Z27	Z9, Z3	순환군
	Z9×Z3	Z9, Z3
	Z33	Z3
28	Z28 = Z7 × Z4	Z14, Z7, Z4, Z2	순환군
	Z14 × Z2 = Z7 × Z22	Z14, Z7, Z4, Z2
29	Z29	–	순환군, 단순군
30	Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3 = Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2	Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2	순환군
31	Z31	–	순환군, 단순군

비아벨 군

크기가 31 이하인 비아벨 군들의 목록은 다음과 같다.

크기	군	부분군	성질	마디 그래프
6	S3 = Dih3	Z3 , Z2 (3)	가장 작은 비아벨 군
8	Dih4	Z4, Z22 (2) , Z2 (5)
	사원수군, Q8 = Dic2	Z4 (3), Z2	가장 작은 데데킨트 군
10	D5	Z5 , Z2 (5)
12	D6 = Dih3 × Z2	Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7)
	A4	Z22 , Z3 (4) , Z2 (3)	군의 원소 개수의 약수를 위수로 갖는 부분군이 없는 가장 작은 군. 6개의 원소를 가진 부분군이 존재하지 않음.(라그랑주 정리 (군론), 쉴로브 정리 참조)
	Dic3 = Z3 ⋊ Z4	Z2, Z3, Z4 (3), Z6
14	Dih7	Z7, Z2 (7)
16	Dih8	Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)
	Dih4 × Z2	Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (7), Z4 (2), Z2 (11)
	Q16 = Dic4
	Q8 × Z2		데데킨트 군
	준정이면체군(quasidihedral group)
	크기 16의 이와사와 군
	Z4 ⋊ Z4
	파울리 행렬로 생성되는 군
	G4,4 = Z22 ⋊ Z4
18	Dih9		정이면체군
	S3×Z3
	(Z3 × Z3)⋊ Z2
20	Q20 = Dic5 = <5,2,2>
	Z5 ⋊ Z4
	Dih10 = Dih5 × Z2
21	Z7 ⋊ Z3		홀수 크기의 가장 작은 비아벨군
22	Dih11
24	Z3 ⋊ Z8
	SL(2,3) = Q8 ⋊ Z3
	Q24 = Dic6 = <6,2,2> = Z3 ⋊ Q8
	Z4 × S3
	Dih12
	Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 × Z4)
	(Z6 × Z2)⋊ Z2 = Z3 ⋊ Dih4
	Dih4 × Z3		멱영군
	Q8 × Z3		멱영군
	S4		쉴로브 부분군인 정규 부분군이 없음
	A4 × Z2
	D12× Z2
26	Dih13
27	Z32 ⋊ Z3		멱영군. 항등원이 아닌 모든 원소의 차수가 3
	Z9 ⋊ Z3		멱영군
28	Dic7 = Z7 ⋊ Z4
	Dih14
30	Z5 × S3
	Dih15
	Z3 × Dih5

같이 보기

• 합성열
• 유한단순군의 목록
• 유한군
• 쉴로브 정리

참고 문헌

• Wild, Marcel (2005년 1월). “The groups of order sixteen made easy” (PDF). 《American Mathematical Monthly》 (영어) 112 (1): 20–31. JSTOR 30037381. Zbl 1119.20300. 2006년 9월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2006년 9월 23일에 확인함.
• Hall, Marshall, Jr.; James K. Senior (1964). 《The groups of order 2ⁿ (n ≤ 6)》 (영어). Macmillan. LCCN 64016861. MR 168631. Zbl 0192.11701. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

외부 링크

• Pedersen, John. “Groups of small order” (영어). 2014년 11월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 9월 27일에 확인함.
• Besche, H. U.; B. Eick, E. O’Brien. “The Small Groups library” (영어). 2012년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2012년 3월 5일에 확인함. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Schaps, Malka. “Database of group character tables” (영어). 2013년 12월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 9월 27일에 확인함.
• “Groups of order 1”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 2”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 3”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 4”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 5”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 6”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 7”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 8”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 9”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 10”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 12”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 14”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 15”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 16”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 18”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 20”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 24”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 27”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 30”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 32”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 36”. 《Groupprops》 (영어).
• “Groups of order 40”. 《Groupprops》 (영어).