원시환

환론에서 원시환(原始環, 영어: primitive ring)은 단순 가군으로서 완전히 나타낼 수 있는 환이다. 이러한 환들은 나눗셈환 위의 선형 변환들의 환에 가깝다.

정의

환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 원시환(영어: left primitive ring)이라고 한다.

• 충실한 왼쪽 단순 가군을 갖는다.^{[1]:172, Definition 11.2}
• 소환이며, 가군의 길이가 유한한 충실한 왼쪽 가군을 갖는다.^{[1]:191, Exercise 11.19}
• 영 아이디얼이 아닌 양쪽 아이디얼을 포함하지 않는 극대 왼쪽 아이디얼이 존재한다.
• 다음 성질을 만족시키는 왼쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subsetneq R}$이 존재한다.^{[1]:186, Lemma 11.28}
  • 임의의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\neq \{0\}}$이라면 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R}$이다.
• (제이컵슨 조밀성 정리 영어: Jacobson density theorem) 나눗셈환 ${\displaystyle D}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle V}$에 이산 위상을 주고, 자기 함수 집합 ${\displaystyle V^{V}}$에 곱위상을 주고, 자기준동형환 ${\displaystyle \operatorname {End} _{D}V\subseteq V^{V}}$에 부분 공간 위상을 주면, ${\displaystyle \operatorname {End} _{D}V}$의 조밀 부분환과 동형이다.

오른쪽 원시환(영어: right primitive ring)은 왼쪽 원시환의 반대환이다. 즉, 위와 마찬가지로 정의된다.

성질

가환환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{[1]:173, Proposition 11.8}

• 왼쪽 원시환이다.
• 오른쪽 원시환이다.
• 체이다.

왼쪽 아르틴 환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 왼쪽 원시환이다.
• 오른쪽 원시환이다.
• 소환이다.
• 단순환이다.
• 나눗셈환 ${\displaystyle D}$ 위의 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;D)}$과 동형이다 (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$).^{[1]:181, Theorem 11.19}

왼쪽·오른쪽 원시환은 반원시환(영어: semiprimitive ring)이며 소환(영어: prime ring)이다. 모든 단순환은 왼쪽 원시환이자 오른쪽 원시환이다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^[1]:173

반단순환	⇒	반원시환	⇒	반소환
		⇑		⇑
단순환	⇒	左·右 원시환	⇒	소환

분류

${\displaystyle R}$가 왼쪽 원시환이라고 하고, ${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle R}$의 충실한 왼쪽 단순 가군이라고 하자. 그렇다면, 슈어 보조정리에 따라 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}M}$은 나눗셈환이다. 또한, ${\displaystyle M}$은 자연스럽게 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}M}$의 왼쪽 가군이며, 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

${\displaystyle R\to \operatorname {End} _{R}M}$

${\displaystyle r\mapsto (m\mapsto rm)}$

또한, ${\displaystyle M}$이 충실한 가군이므로 이 환 준동형은 (정의에 따라) 단사 함수이다. 즉, ${\displaystyle R}$를 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}M}$의 부분환으로 여길 수 있으며, ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}M}$의 작용을 ${\displaystyle R}$로 제약시키면, ${\displaystyle R}$의 원래 작용과 같다.

이제, ${\displaystyle M}$에 이산 위상을 부여하고, 자기 함수 집합

${\displaystyle M^{M}=\prod _{m\in M}M}$

에 곱위상을 부여하고,

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}M\subseteq M^{M}}$

에 부분 공간 위상을 부여하자.

제이컵슨 조밀성 정리(영어: Jacobson density theorem)에 따르면, ${\displaystyle R}$는 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}M}$의 조밀 집합이다. 이 위상에서 조밀 집합이라는 것은 구체적으로 다음과 같다.

• 임의의 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 및 ${\displaystyle {\vec {m}}\in M^{n}}$에 대하여, ${\displaystyle R{\vec {m}}=M^{n}}$이다.

예

자명환은 왼쪽·오른쪽 원시환이 아니다.^{[1]:172, Definition 11.2}

표수가 0인 체 ${\displaystyle K}$에 대한 바일 대수 ${\displaystyle K\langle x,p\rangle /(xp-px-1)}$는 원시환이다.

왼쪽 원시환이지만 오른쪽 원시환이 아닌 환이 존재한다.^[2]