천-베유 준동형

미분기하학에서 천-베유 준동형([陳]-Weil準同型, 영어: Chern–Weil homomorphism)은 리 군의 작용에 대하여 불변인 리 대수 변수 다항식을 드람 코호몰로지 동치류에 대응시키는 환 준동형이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 연결 콤팩트 리 군의 복소화인 복소수 리 군 ${\displaystyle G}$

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle G}$의 복소수 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위의 다항식환 ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$
• ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ 위의 ${\displaystyle G}$의 딸림표현 작용. 이에 따라 ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$는 군환 ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$의 왼쪽 가군을 이룬다.

  ${\displaystyle (g\cdot p)(x)=p(\operatorname {Ad} _{g}x)\qquad (g\in G,\;p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}],\;x\in {\mathfrak {g}})}$

• ${\displaystyle G}$의 작용에 대한 불변량 부분 대수 ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$.

  ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\left\{p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\colon p=g\cdot p\right\}}$

• ${\displaystyle G}$의 불변량 부분 대수는 동차 다항식 부분 공간들의 합으로 다음과 같이 분해된다.

  ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}$

  ${\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}\iff \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\;x\in {\mathfrak {g}}\colon p(\lambda x)=\lambda ^{k}p(x)}$

• 동차 다항식 ${\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 ${\displaystyle k}$개의 변수를 갖는 함수 ${\displaystyle {\bar {p}}\colon {\mathfrak {g}}^{\oplus k}\to \mathbb {C} }$가 존재한다.

  ${\displaystyle {\bar {p}}(x,\dotsc ,x)=p(x)\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\bar {p}}(x_{1},\dotsc ,x_{k})={\bar {p}}(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (k)})\qquad \forall \sigma \in \operatorname {Sym} (k),\;(x_{i})_{1\leq i\leq k}\in {\mathfrak {g}}^{\oplus k}}$

또한, 다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle G}$-매끄러운 주다발 ${\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M}$

그렇다면, 천-베유 준동형은 다음과 같은 ${\displaystyle \mathbb {C} }$-결합 대수 준동형이다.

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}$

추상적 정의

리 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 분류 공간 ${\displaystyle \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G}$를 생각하자. (${\displaystyle G}$의 기본군은 상관이 없다.) 그렇다면, 리 대수 코호몰로지를 통해 다음이 성립함을 보일 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$

(복소수 계수이므로, 좌변은 ${\displaystyle G}$의 기본군에 더 이상 의존하지 않는다.) 이 동형에서, 우변의 등급(동차 다항식의 차수)은 좌변의 등급(코호몰로지류의 차수)의 절반이다.

이에 따라, ${\displaystyle G}$-주다발 ${\displaystyle P}$는 어떤 연속 함수

${\displaystyle f\colon M\to \mathrm {B} G}$

에 의하여

${\displaystyle P=f^{*}\mathrm {E} B}$

로서 주어진다. 또한, 이 ${\displaystyle f}$는 코호몰로지 환의 등급환 준동형

${\displaystyle f^{*}\colon \mathrm {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {Z} )}$

을 정의한다. 이를 정수 계수 대신 복소수 계수로 취하면, ${\displaystyle f^{*}}$는 등급환 준동형

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}$

을 정의한다. 이를 천-베유 준동형이라고 한다.

콤팩트 실수 리 군 ${\displaystyle G}$은 그 복소화와 호모토피 동치이므로, 복소수 리 군 대신 콤팩트 실수 리 군을 사용해도 좋다.

구체적 정의

천-베유 준동형은 구체적으로 다음과 같이 주어진다. 우선, ${\displaystyle P}$ 위의 임의의 주접속을 고르고, 그 곡률이

${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}$에 대하여 다음을 정의하자.

${\displaystyle p(F)\in \Omega ^{2k}(P;{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle p(F)(v_{1},\dotsc ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (2k)}(-)^{\sigma }{\bar {p}}\left(F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dotsc ,F(v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)})\right)}$

여기서 사용된 기호는 다음과 같다.

• ${\displaystyle s\in P}$는 주다발 전체 공간의 점
• ${\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{2k}\in \mathrm {T} _{s}P}$는 주다발의 한 접공간의 ${\displaystyle 2k}$ 개의 벡터들
• ${\displaystyle (-)^{\sigma }}$는 순열의 부호수
• ${\displaystyle \operatorname {Sym} (2k)}$는 크기 ${\displaystyle (2k)!}$의 대칭군

그렇다면, 다음을 보일 수 있다.

• ${\displaystyle p}$의 ${\displaystyle G}$-불변성에 의하여, ${\displaystyle p(F)}$는 ${\displaystyle P}$ 위의 닫힌 미분 형식이다. 즉, ${\displaystyle \mathrm {d} p(F)=0}$이다.
• ${\displaystyle p(\Omega )=\pi ^{*}\alpha _{F}}$가 되는 유일한 미분 형식 ${\displaystyle \alpha _{F}\in \Omega ^{2k}(M;\mathbb {C} )}$가 존재하며, 이 또한 닫힌 미분 형식이다.
• 또한, ${\displaystyle \alpha _{F}}$는 사용된 주접속에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지 동치류 ${\displaystyle [\alpha _{F}]\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}$는 주접속에 의존하지 않는다.

이에 따라, 천-베유 준동형은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle p\mapsto [\alpha _{F}]}$

예

1차 천 특성류

 이 부분의 본문은 천 특성류입니다.

${\displaystyle \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }}$ (또는 이에 대응하는 콤팩트 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$)을 생각하자. 그 분류 공간은 무한 차원 복소수 사영 공간

${\displaystyle \mathrm {B} \operatorname {U} (1)\simeq \operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty }}$

이며, 그 유리수 계수 코호몰로지는 설리번 대수

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty };\mathbb {C} )=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{1,x,x^{2},\dotsc \}}$

${\displaystyle \deg x=2}$

${\displaystyle \mathrm {d} x=0}$

이다.

${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$는 아벨 군이므로, 모든 다항식이 불변량이다. 즉, 이 경우

${\displaystyle \mathbb {C} [x]\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty };\mathbb {C} )}$

이다.

${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$-주다발은 연관 벡터 다발 구성을 통하여 복소수 선다발과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 천 특성류

${\displaystyle p(x)\mapsto p(\operatorname {c} _{1}(F))}$

로서 주어진다.

천 특성류

 이 부분의 본문은 천 특성류입니다.

보다 일반적으로, ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$-매끄러운 주다발을 생각하자. 그렇다면, 다음을 생각하자.

${\displaystyle p(x)=\det \left(1-{\frac {x}{2\pi \mathrm {i} }}\right)\qquad (x\in {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}}$

그렇다면, 이에 대응하는 특성류는 총 천 특성류

${\displaystyle \operatorname {c} (P)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {Z} )}$

이다. 물론, 이를 차수별로 분해하여

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}t^{k}p_{k}(x)=\det \left(1-{\frac {tx}{2\pi \mathrm {i} }}\right)\qquad (t\in \mathbb {C} ,\;x\in {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle p_{k}\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}}$

${\displaystyle k}$차 천 특성류

${\displaystyle \operatorname {c} _{k}(P)\in \operatorname {H} ^{2k}(M;\mathbb {Z} )}$

를 정의할 수 있다.

이 경우, ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$-주다발 ${\displaystyle P}$ 대신, 이에 대한 (정의 표현에 대한) 연관 다발

${\displaystyle E=P\times _{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}\mathbb {C} ^{n}}$

을 사용하여

${\displaystyle \operatorname {c} _{k}(E)=\operatorname {c} _{k}(P)\in \operatorname {H} ^{2k}(M;\mathbb {Z} )}$

로 적을 수 있다.

역사

1940년대 말에 천싱선과 앙드레 베유가 도입하였다. 이 내용은 천싱선의 1951년 프린스턴 고등연구소 강의록에서 최초로 출판되었으며,^{[1]:64–65, §Ⅲ.6} 이 강의록의 서문에서 천싱선은 베유의 공헌을 다음과 같이 인정하였다.

“	나는 또한 앙드레 베유씨와 자주 대화를 나눌 수 있었던 특권에 대하여 언급하고 싶습니다. 그의 미출판 원고는 [천-베유 준동형을 다루는] 3장의 전개에 크게 영향을 끼쳤습니다. I wish also to acknowledge my privilege of having frequent conversations with André Weil. An unpublished manuscript of his has greatly influenced the presentation in Chapter Ⅲ.	”
	— [1]:0, §Introduction