초대칭 대수

초대칭 대수(超對稱代數, 영어: supersymmetry algebra)는 푸앵카레 대칭과 초대칭을 나타내는 리 초대수다.

정의

푸앵카레 대수는 시공에 대한 병진 ${\displaystyle P_{\mu }}$와 로런츠 변환 ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$로 이루어진다. 이들은 보손적 생성자다. 여기에 일련의 페르미온적 생성자 ${\displaystyle Q_{\alpha }^{i}}$와 ${\displaystyle {\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{i}}$를 추가한다. (만약 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$개의 초대칭이 있으면 ${\displaystyle i=1,2,\dots ,{\mathcal {N}}}$.) 이들은 초대칭을 나타낸다.

푸앵카레 대수는 ${\displaystyle D}$차원의 시공에서 ${\displaystyle D}$개의 병진 생성자와 ${\displaystyle D(D-1)/2}$개의 로런츠 변환으로 총 ${\displaystyle D+D(D-1)/2}$차원이다. (${\displaystyle D=4}$일 경우에는 물론 10차원.) 여기에 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심 전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총 ${\displaystyle D+D(D-1)/2+\dim({\text{spinor}})\times {\mathcal {N}}}$차원이 된다.

주어진 시공간 차원에서, 초전하(영어: supercharge)의 수는 그 차원에서의 최소 스피너 표현의 차원의 정수배이다. 이 정수를 통상적으로 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$이라고 쓴다. 가장 간단한 초대칭은 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$이며, ${\displaystyle {\mathcal {N}}>1}$인 경우를 확장 초대칭(영어: extended supersymmetry)이라고 한다. 4차원 민코프스키 공간에서의 최소 스피너 표현은 4차원 바일 또는 마요라나 스피너이므로, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭은 4개의 초전하를 가진다.

초대칭은 서로 다른 스핀의 입자들을 연관지으므로, 초대칭이 더 많을 수록 더 높은 스핀의 입자가 필요하다. 스핀이 2를 초과하는 경우는 (일반적으로) 상호작용하는 이론을 정의할 수 없다. 만약 초전하의 수가 32를 초과하는 경우 스핀이 2를 초과하는 입자가 필요하므로, 초전하는 최대 32개가 존재할 수 있다. 32개의 초전하의 경우 스핀이 2인 입자(중력자)가 필요하므로, 이는 초중력 이론을 이룬다. 11차원 초중력이나 10차원 IIA/B 초중력, 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ 초중력^[1] 등이 그 예이다.

만약 중력을 포함하지 않으려면, 입자의 스핀은 최대 1이어야 한다. (스핀이 1½인 경우는 그래비티노로, 중력이 없이는 상호작용하는 그래비티노를 포함할 수 없다.) 이 경우에는 초전하의 수는 최대 16이다. 10차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭 양-밀스 이론이나 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초대칭 양-밀스 이론^[2] 이 그 예이다.

다양한 시공간 차원에서 가능한 초대칭의 종류는 다음과 같다. (12차원 이상에서는 자명하지 않은 초대칭 이론이 존재할 수 없다고 여겨진다.)

다양한 차원의 민코프스키 공간에서의 최소 초대칭 수

시공간의 차원	${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$의 초전하수
11	32
10, 9, 8, 7	16
6, 5	8
4	4
3	2
2,1	1

차원 축소에 따른 초대칭. 주어진 칸의 초대칭을 차원 축소하면 그 밑에 있는 초대칭들을 얻는다.

시공간의 차원	32개의 초전하		16개의 초전하		8개의 초전하	4개의 초전하	2개의 초전하
11	${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$	(불가능)
10	${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$ (IIA종)	${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)}$ (IIB종)	${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,0)}$ (I종)	(불가능)
9	${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$
8	${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$
7	${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$
6	${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,0)}$	(불가능)
5	${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$
4	${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$	(불가능)
3	${\displaystyle {\mathcal {N}}=16}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$	(불가능)
2	${\displaystyle {\mathcal {N}}=(16,16)}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=(8,8)}$		${\displaystyle {\mathcal {N}}=(4,4)}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)}$

4차원 초대칭

4차원에서, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭은 (디랙 스피너이므로) 총 4개의 초전하를 가진다. 즉, 일반적으로는 ${\displaystyle 4{\mathcal {N}}}$개의 초전하가 존재한다. 이 경우, 흔히 볼 수 있는 것은 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 및 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ 초중력이다. 중력을 포함하지 않는 경우, ${\displaystyle {\mathcal {N}}>4}$인 경우는 와인버그-위튼 정리에 걸려 자명한 이론이 되고, 중력을 포함한다고 해도 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$까지만 가능하다.

주어진 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$에 대하여, 초대칭 대수의 생성원은 다음과 같다.

• 병진 변환 ${\displaystyle P_{\mu }}$
• 회전 ${\displaystyle J_{\mu \nu }}$
• 초대칭 ${\displaystyle Q_{\alpha }^{i}}$, ${\displaystyle {\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{i}}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,{\mathcal {N}}}$). 이는 R대칭군의 크기가 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$인 "벡터 표현"을 따른다. 이 표현을 ${\displaystyle b^{ai}{}_{j}}$라고 쓰자.
• R대칭 ${\displaystyle R^{a}}$는 R대칭군 ${\displaystyle R\subseteq U({\mathcal {N}})}$의 딸림표현을 따른다. 이 표현을 ${\displaystyle f^{ab}{}_{c}}$라고 쓰자.
• 중심 원소 ${\displaystyle Z^{ij}}$

이들의 리 초괄호는 다음과 같다.

${\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0}$

${\displaystyle [J_{\mu \nu },P_{\rho }]=i\left(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\right)}$

${\displaystyle [J_{\mu \nu },J_{\rho \sigma }]=i\left(\eta _{\mu \rho }J_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }J_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }J_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }J_{\mu \rho }\right)}$

${\displaystyle \{Q_{\alpha }^{i},Q_{\beta }^{j}\}=\epsilon _{\alpha \beta }Z^{ij}}$

${\displaystyle [Q_{\alpha }^{i},M_{\mu \nu }]={\frac {1}{2}}(\sigma _{\mu \nu })^{\beta }{}_{\alpha }Q_{\beta }^{i}}$

${\displaystyle [{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{i},M_{\mu \nu }]=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{\mu \nu })^{\dot {\beta }}{}_{\dot {\alpha }}{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}^{i}}$

${\displaystyle \{{\bar {Q}}^{i},{\bar {Q}}^{j}\}=-\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}(Z^{ij})\dagger )}$

${\displaystyle \{Q_{\alpha }^{i},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{j}\}=2\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\delta ^{ij}P_{\mu }}$

${\displaystyle [Q^{i},R^{a}]=b^{ai}{}_{j}Q^{j}}$

${\displaystyle [Q^{i},R^{a}]=-(b^{ai}{}_{j})^{\dagger }{\bar {Q}}^{j}}$

${\displaystyle [{\bar {Q}}^{i},R^{a}]=-(b^{ai}{}_{j})^{\dagger }Q^{j}}$

${\displaystyle [{\bar {Q}}^{i},R^{j}{}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\bar {Q}}^{j}}$

${\displaystyle [Z^{ij},P_{\mu }]=[Z^{ij},J_{\mu \nu }]=[Z^{ij},R^{a}]=[Z^{ij},Q]=0}$

즉, 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다.

위상 뒤틀림

4차원에서는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 또는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$인 경우 위상 뒤틀림(영어: topological twist)을 가해 위상 양자장론으로 만들 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$인 경우는 SU(2) R대칭을 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)=\operatorname {SU} (2)^{2}}$ 로런츠 대칭의 두 좌·우 성분 가운데 하나와 대각군을 취하며, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$인 경우는 서로 동일하지 않는 3가지의 가능한 뒤틀림이 존재한다.

초다중항

4차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다.

• ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$
  • 손지기 초다중항(영어: chiral multiplet): 복소 스칼라장, 바일 스피너
  • 벡터 초다중항(영어: vector multiplet): 바일 스피너, 게이지장
  • 중력자 초다중항(graviton supermultiplet): 중력자, 바일 그래비티노
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$
  • 하이퍼 초다중항(영어: hypermultiplet): 복소 스칼라장(×2), 디랙 스피너
    • 서로 다른 나선도의 두 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 손지기 초다중항으로 구성된다. 게이지 대칭이 있는 경우, 하나는 표현 R, 다른 하나는 그 복소 켤레 표현 R을 따른다.
  • 벡터 초다중항: 복소 스칼라장, 디랙 스피너, 게이지장
    • ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 벡터 초다중항과 (게이지 딸림표현) ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 손지기 초다중항으로 구성된다.
  • 중력자 초다중항: 중력자, 디랙 그래비티노, 중력광자
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$
  • 벡터 초다중항: 실수 스칼라장 (×6), 바일 스피너 (×6), 게이지장
  • 중력자 초다중항
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$
  • 중력자 초다중항

3차원 초대칭

3차원 민코프스키 공간에서의 초대칭은 다음과 같다.^[3] 이 경우 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭은 2개의 초대칭을 가지며, 마요라나 스피너가 된다.

${\displaystyle \{Q^{i},{\bar {Q}}^{j}\}=i\sigma _{\alpha \beta }^{\mu }\delta ^{ij}P_{\mu }+Z^{ij}}$

여기서 중심 확대 ${\displaystyle Z^{ij}}$는 반대각화하여 ${\displaystyle \lfloor {\mathcal {N}}/2\rfloor }$개의 실수 고윳값으로 나타낼 수 있다. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초대칭에서는 하나의 중심 전하 ${\displaystyle Z}$가 존재하며, 이 경우 모든 물리적 상태들의 질량 ${\displaystyle M}$은 BPS 부등식

${\displaystyle M\geq Z}$

를 만족시킨다.^[3]:(19)

3차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다. 3차원에서는 게이지장을 ${\displaystyle *F=\phi }$로 실수 스칼라로 이중화할 수 있다. 즉, 3차원에서는 스칼라장 및 (마요라나) 페르미온만이 존재한다.

• ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$: 실수 스칼라장 (×1), 마요라나 스피너 (×1). R대칭은 없다.
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$^[4]: 실수 스칼라장 (×2), 마요라나 스피너 (×2). R대칭은 U(1). 이 경우는 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$을 축소화하여 얻는다. 이 경우 게이지 이론의 거울 대칭이 존재한다.
• 마찬가지로 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4,8,16}$ 등이 존재한다.

6차원 초대칭

6차원 민코프스키 공간에서는 2차 미분형식 퍼텐셜 게이지장이 존재한다. 이 경우, 질량껍질 위에서, (1차 미분형식) 게이지장은 4개의 자유도를, 바일 스피너는 4개의 자유도를, 2차 미분형식 게이지장은 3개의 자유도를 가진다.

• ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$. R대칭은 SU(2)이다.
  • 하이퍼 초다중항: 실수 스칼라장 (×4), 바일 스피너 (×1)
  • 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1)
  • 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1), 실수 스칼라 (×1)
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$. R대칭은 SO(4)이다.
  • 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 디랙 스피너 (×1), 실수 스칼라장 (×4)
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)}$. R대칭은 SO(5)이다.
  • 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 왼쪽 바일 스피너 (×2), 실수 스칼라장 (×5)

2차원 초대칭

 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=1 초등각 장론입니다.

 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=2 초등각 장론입니다.

 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=4 초등각 장론입니다.

같이 보기

• 아딘크라 (물리학)
• 초등각 장론
• 2차원 𝒩=2 초등각 장론