칸토어 교점 정리

일반위상수학에서 칸토어 교점 정리(Cantor交點定理, 영어: Cantor’s intersection theorem)는 점점 작아지는 (공집합이 아닌) 콤팩트 집합들의 열의 교집합은 공집합이 아니라는 정리이다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 속의 콤팩트 닫힌집합들로 구성된 하향 집합 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$가 주어졌다고 하자. 칸토어 교점 정리에 따르면, ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing }$인 것은 ${\displaystyle {\mathcal {K}}\ni \varnothing }$인 것과 동치이다.^{[1]:428, Lemma A.2.2}

증명:

${\displaystyle {\mathcal {K}}\ni \varnothing }$이라면 자명하게 ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing }$이다. 반대로 ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing }$이라고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle K_{0}\in {\mathcal {K}}}$에 대하여, 하향 집합의 정의에 따라

${\displaystyle \bigcap _{L\in {\mathcal {K}}}^{L\subseteq K_{0}}K=\bigcap _{K,L\in {\mathcal {K}}}^{K\supseteq L\subseteq K_{0}}K=\bigcap _{K\in {\mathcal {K}}}K=\varnothing }$

이다. 따라서

${\displaystyle \{K_{0}\setminus L\colon L\in {\mathcal {K}},\;L\subseteq K_{0}\}}$

는 ${\displaystyle K_{0}}$의 열린 덮개이다. 그런데 ${\displaystyle K_{0}}$는 콤팩트 공간이므로, 유한 부분 덮개

${\displaystyle \{K_{0}\setminus L_{1},\dots ,K_{0}\setminus L_{n}\}}$

를 찾을 수 있다. 그렇다면 하향 집합의 정의에 의하여 ${\displaystyle \{L_{1},\dots ,L_{n}\}}$의 하계

${\displaystyle L\in {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle L\subseteq L_{1}\cap \cdots \cap L_{n}}$

를 찾을 수 있다. 그런데 덮개의 정의에 의하여

${\displaystyle L_{1}\cap \cdots \cap L_{n}=\varnothing }$

이므로 ${\displaystyle L=\varnothing }$이다.

특히, ${\displaystyle X}$ 속의 콤팩트 닫힌집합들의 하강 열

${\displaystyle K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq K_{2}\supseteq \cdots }$

은 하향 집합을 이루므로 위 정리가 성립한다. 만약 ${\displaystyle X}$가 하우스도르프 공간이라면 모든 콤팩트 집합이 닫힌집합이므로, 닫힌집합 가정을 생략할 수 있다.

약간 다른 형태로, 집합 ${\displaystyle X}$ 속의 부분 집합들의 족 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$이 다음 조건을 만족시킨다면 유한 교차성(영어: finite intersection property)을 만족시킨다고 한다.

• 임의의 유한 부분 집합 ${\displaystyle S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}\in {\mathcal {S}}}$에 대하여, ${\displaystyle S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{n}\neq \varnothing }$

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 콤팩트 공간이다.
• ${\displaystyle X}$ 속의 임의의 닫힌집합들의 족 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$가 유한 교차성을 만족시킨다면, ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}\neq \varnothing }$이다.

이로부터 하향 집합에 대한 형태를 쉽게 유도할 수 있다.

차분한 공간

호프만-미슬러브 정리로부터, 칸토어 교점 정리의 차분한 공간 형태를 유도할 수 있다. 차분한 공간 ${\displaystyle X}$ 속에서, 콤팩트 포화 집합들로 구성된 하향 집합 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{[2]:302, Corollary 2[3]:381, Theorem 2.28}

• ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}}$ 역시 콤팩트 포화 집합이다.
• 만약 ${\displaystyle U\subseteq X}$가 열린집합이며, ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}\subseteq U}$라면, ${\displaystyle K\subseteq U}$인 ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}}$가 존재한다.
• 만약 ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing }$라면, ${\displaystyle {\mathcal {K}}\ni \varnothing }$이다.

증명:

임의의 ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}}$의 열린 근방 필터 ${\displaystyle {\mathcal {U}}(K)}$는 열린집합 격자 ${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$의 스콧 열린 필터이다. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$가 하향 집합이므로,

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcup _{K\in {\mathcal {K}}}{\mathcal {U}}(K)}$

역시 스콧 열린 필터를 이룬다. 호프만-미슬러브 정리에 의하여, 그 교집합

${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}=\bigcap _{K\in {\mathcal {K}}}\bigcap {\mathcal {U}}(K)=\bigcap {\mathcal {K}}}$

는 콤팩트 포화 집합이다. 또한, 호프만-미슬러브 정리에 의하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 이 교집합의 열린 근방 필터이다.

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {U}}\left(\bigcap {\mathcal {K}}\right)}$

만약 ${\displaystyle U}$가 열린집합이며, ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}\subseteq U}$라면, ${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}}$이므로, ${\displaystyle U}$는 어떤 ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}}$의 열린 근방이다. 만약 ${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing }$이라면, ${\displaystyle U=\varnothing }$는 어떤 ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}}$의 열린 근방이며, 이 경우 ${\displaystyle K=\varnothing }$이다.

T₁ 공간의 모든 부분 집합은 포화 집합이다. 따라서, 차분한 T₁ 공간의 경우 포화 집합 조건을 생략하여도 좋다.

역사

게오르크 칸토어가 증명하였다. 칸토어 집합은 이 정리를 사용하여 공집합이 아님을 보일 수 있다.