마이크로스트립

마이크로스트립(microstrip)은 도체가 기판으로 알려진 유전체 층에 의해 접지면으로부터 분리되는 모든 기술로 제조될 수 있는 전기 전송선로의 한 유형이다. 마이크로스트립 라인은 마이크로파 주파수 신호를 전달하는 데 사용된다.

마이크로스트립 기하학의 단면도. 도체 A는 유전체 기판 C에 의해 접지면 D와 분리된다. 상부 유전체 B는 일반적으로 공기이다.

일반적인 구현 기술은 인쇄 회로 기판(PCB), 유전체 층으로 코팅된 알루미나 또는 때로는 실리콘 또는 기타 유사한 기술이다. 안테나, 결합기, 필터, 전력 분배기 등과 같은 마이크로파 부품은 마이크로스트립으로 형성될 수 있으며, 전체 장치는 기판 위의 금속화 패턴으로 존재한다. 따라서 마이크로스트립은 기존의 도파관(전자기학) 기술보다 훨씬 저렴하고, 훨씬 가볍고 컴팩트하다. 마이크로스트립은 스트립라인(Grieg와 Engelmann이 1952년 12월 IRE 회보에 처음 발표)의 경쟁자로 ITT 연구소에서 개발되었다.^[1]

도파관과 비교한 마이크로스트립의 단점은 일반적으로 낮은 전력 처리 용량과 높은 손실이다. 또한 도파관과 달리 마이크로스트립은 일반적으로 밀폐되어 있지 않아 혼선 및 의도하지 않은 방사에 취약하다.

최저 비용을 위해 마이크로스트립 장치는 일반적인 FR-4(표준 PCB) 기판에 구축될 수 있다. 그러나 FR4의 유전체 손실은 마이크로파 주파수에서 너무 높고 비유전율이 충분히 엄격하게 제어되지 않는 경우가 많다. 이러한 이유로 알루미나 기판이 일반적으로 사용된다. 모놀리식 통합 관점에서 집적 회로/모놀리식 마이크로파 집적 회로 기술을 사용하는 마이크로스트립은 실현 가능할 수 있지만, 성능은 사용 가능한 유전체 층과 도체 두께에 의해 제한될 수 있다.

마이크로스트립 라인은 고속 디지털 PCB 설계에서도 사용되며, 신호가 왜곡을 최소화하고 높은 혼선 및 방사를 피하면서 어셈블리의 한 부분에서 다른 부분으로 라우팅되어야 한다.

마이크로스트립은 스트립라인 및 코플래너 도파관과 같은 여러 형태의 평면 전송선로 중 하나이며, 이들 모두를 동일한 기판에 통합하는 것이 가능하다.

마이크로스트립 라인의 균형 신호쌍인 차동 마이크로스트립은 DDR2 SDRAM 클록, USB Hi-Speed 데이터 라인, PCI 익스프레스 데이터 라인, LVDS 데이터 라인 등과 같은 고속 신호에 종종 사용되며, 종종 모두 동일한 PCB에 있다.^[2][3][4] 대부분의 PCB 설계 도구는 이러한 차동쌍을 지원한다.^[5][6]

불균일성

마이크로스트립 라인에 의해 전달되는 전자기파는 부분적으로 유전체 기판에 존재하고 부분적으로 그 위에 있는 공기에 존재한다. 일반적으로 기판의 비유전율은 공기의 유전율과 다르며(더 크며), 따라서 파동은 불균일한 매질에서 전파된다. 결과적으로 전파 속도는 기판 내 전파 속도와 공기 내 전파 속도 사이에 있다. 이 동작은 일반적으로 마이크로스트립의 유효 유전율을 명시함으로써 설명되며, 이는 동등한 균일 매질(즉, 동일한 전파 속도를 초래하는 매질)의 유전율이다.

불균일 매질의 추가 결과는 다음과 같다.

• 라인은 진정한 TEM 파동을 지원하지 않는다. 0이 아닌 주파수에서 E 및 H 필드 모두 종방향 성분(혼합 모드)을 갖는다.^[7] 그러나 종방향 성분은 작으므로 지배적인 모드는 준-TEM으로 불린다.^[8]
• 라인은 분산적이다. 주파수가 증가함에 따라 유효 유전율은 점차적으로 기판의 유전율에 가까워져 위상속도는 점차 감소한다.^[7][9] 이는 비분산 기판 재료에서도 마찬가지이다(기판 유전율은 일반적으로 주파수 증가에 따라 감소한다).
• 라인의 특성 임피던스는 주파수에 따라 약간 변한다(비분산 기판 재료에서도 마찬가지이다). 비TEM 모드의 특성 임피던스는 고유하게 정의되지 않으며, 사용된 정확한 정의에 따라 마이크로스트립의 임피던스는 주파수가 증가함에 따라 상승하거나, 하락하거나, 하락한 다음 상승한다.^[10] 특성 임피던스의 저주파 한계는 준정적 특성 임피던스라고 불리며, 모든 특성 임피던스 정의에 대해 동일하다.
• 파동 임피던스는 라인의 단면을 따라 달라진다.
• 마이크로스트립 라인은 복사하며, 스트립라인에서 순수 리액턴스였던 스텁 및 포스트와 같은 불연속 요소는 이들로부터의 복사로 인해 작은 저항 성분을 갖는다.^[11]

특성 임피던스

마이크로스트립 라인의 준정적 특성 임피던스에 대한 닫힌 형태의 근사 표현식은 휠러에 의해 개발되었다.^[12][13][14]

${\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\frac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {2(1+\varepsilon _{r})}}}}\mathrm {ln} \left(1+{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}+{\sqrt {\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\right)^{2}+\pi ^{2}{\frac {1+1/\varepsilon _{\text{r}}}{2}}}}\right)\right),}$

여기서 w_eff는 유효 폭으로, 스트립의 실제 폭에 금속화의 0이 아닌 두께를 고려하기 위한 보정치를 더한 값이다.

${\displaystyle w_{\textrm {eff}}=w+t{\frac {1+1/\varepsilon _{r}}{2\pi }}\ln \left({\frac {4e}{\sqrt {\left({\frac {t}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{w/t+11/10}}\right)^{2}}}}\right).}$

여기서 Z₀는 자유 공간의 임피던스, ε_r은 기판의 비유전율, w는 스트립의 폭, h는 기판의 두께("높이"), 그리고 t는 스트립 금속화의 두께이다.

이 공식은 세 가지 다른 경우에 대한 정확한 해에 점근한다.

1. w ≫ h, 임의의 ε_r (병렬판 전송선),
2. w ≪ h, ε_r = 1 (접지면 위의 와이어), 그리고
3. w ≪ h, ε_r ≫ 1.

대부분의 다른 경우에 대해 임피던스 오차는 1% 미만이며 항상 2% 미만이라고 주장된다.^[14] 모든 가로세로비를 하나의 공식으로 다룸으로써 휠러(Wheeler) 1977은 휠러(Wheeler) 1965^[13]를 개선했는데, 휠러 1965는 w/h > 3.3에 대한 공식 하나와 w/h ≤ 3.3에 대한 다른 공식을 제공하여 w/h = 3.3에서 결과에 불연속성을 초래했다.

해럴드 휠러는 '마이크로스트립'과 '특성 임피던스'라는 용어 모두를 싫어했으며, 그의 논문에서는 사용을 피했다.

다른 저자들이 특성 임피던스에 대한 여러 다른 근사 공식을 제시했다. 그러나 대부분은 제한된 가로세로비 범위에만 적용되거나, 전체 범위를 조각별로 다룬다.

특히, 휠러^[12][13]의 공식을 수정한 해머스타드(Hammerstad)가 제안한 방정식 세트는 아마도 가장 자주 인용되는 것일 것이다.^[15]

${\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\begin{cases}{\dfrac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}}}\ln \left(8{\dfrac {h}{w}}+{\dfrac {w}{4h}}\right),&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\{\dfrac {Z_{0}}{{\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}\left[{\frac {w}{h}}+1.393+0.667\ln \left({\frac {w}{h}}+1.444\right)\right]}},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}}$

여기서 ε_eff는 다음과 같이 근사화된 유효 유전율이다.^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\textrm {eff}}&={\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}-1}{2}}q\\q&={\frac {1}{\sqrt {1+12(h/w)}}}+q_{2}\\q_{2}&={\begin{cases}0.04{\bigg (}1-{\dfrac {w}{h}}{\bigg )}^{2},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\0,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\\\end{cases}}.\\\end{aligned}}}$

금속 인클로저의 영향

마이크로스트립 회로는 응용 분야에 따라 금속 인클로저가 필요할 수 있다. 인클로저의 상단 덮개가 마이크로스트립을 침범하면, 판 및 프링징 커패시턴스에 대한 추가 경로로 인해 마이크로스트립의 특성 임피던스가 감소할 수 있다. 이러한 경우, 공기(ε_r = 1)에서의 마이크로스트립 특성 임피던스 ${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$을 조정하기 위한 방정식이 개발되었다. 여기서 ${\displaystyle Z_{om}^{a}=Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}$이며, ${\displaystyle Z_{o\infty }^{a}}$는 덮개가 없는 공기 중 마이크로스트립의 임피던스이다. ${\displaystyle \varepsilon _{re}}$에 대한 방정식은 금속 덮개를 고려하도록 조정될 수 있으며, 이를 사용하여 유전체를 사용한 Z_o를 표현식 ${\displaystyle Z_{om}=Z_{om}^{a}/{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}$으로 계산한다. 여기서 ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$은 금속 덮개에 대해 조정된 ${\displaystyle \varepsilon _{re}}$이다. 유한 스트립 두께 보상은 위에서 설명한 ${\displaystyle w_{\textrm {eff}}}$를 ${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$ 및 ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$ 계산 모두에서 ${\displaystyle w}$ 대신 사용하고, 모든 공기 계산에는 ${\displaystyle \varepsilon =1}$을, 모든 유전체 재료 계산에는 ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{r}}$을 사용하여 계산할 수 있다. 아래 표현식에서 c는 덮개 높이, 즉 유전체의 상단에서 금속 덮개까지의 거리이다.^[17]

${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$에 대한 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re_{m}}&={\frac {\varepsilon _{r}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{r}-1}{2}}{\frac {q}{q_{C}}}\\q&{\text{ is defined above}}\\q_{C}&=\tanh(1.043+.121{\frac {c}{h}}-1.164{\frac {h}{c}})\\\end{aligned}}}$.

${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$에 대한 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta Z_{om}^{a}&=PQ\\P&=270{\bigg [}1-\tanh {\biggr (}0.28+1.2{\sqrt {\frac {c}{h}}}{\biggr )}{\bigg ]}\\Q&={\begin{cases}1,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\1-\tanh ^{-1}{\biggr (}{\frac {0.48{\sqrt {(w/h)-1}}}{(1+(c/h))^{2}}}{\biggr )},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}\end{aligned}}}$.

${\displaystyle Z_{om}}$에 대한 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{om}={\frac {Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}}$.

이 방정식들은 다음 조건에서 1% 이내의 정확도를 가진다고 주장된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&1\leq \varepsilon _{r}\leq 30\\&0.05\leq w/h\leq 30.0\\&t/h\leq 0.1\\&c/h\geq 1.0\\\end{aligned}}}$.

공중 부유 및 역 마이크로스트립

유전체 층이 공기 층에 의해 하부 접지면 위에 공중 부유될 때, 이 기판은 공중 부유 기판이라고 불리는데, 이는 페이지 오른쪽 상단의 마이크로스트립 그림에서 층 D가 0이 아닌 것과 유사하다. 전통적인 마이크로스트립에 비해 공중 부유 기판을 사용하는 장점은 분산 효과 감소, 설계 주파수 증가, 더 넓은 스트립 형상, 구조적 부정확성 감소, 더 정확한 전기적 특성, 그리고 더 높은 특성 임피던스를 얻을 수 있다는 점이다. 단점은 공중 부유 기판이 전통적인 마이크로스트립 기판보다 크고 제조하기 더 어렵다는 것이다. 도체가 유전체 층 위에 위치하는 대신 유전체 층 아래에 위치할 때, 이 마이크로스트립은 역 마이크로스트립이라고 불린다.^[18][19]

특성 임피던스

프라마니크(Pramanick)와 바티아(Bhartia)는 공중 부유 및 역 마이크로스트립의 특성 임피던스(Zo) 및 유효 비유전율(Ere)을 근사화하는 데 사용되는 일련의 방정식을 문서화했다.^[18] 이 방정식은 참고 자료에서 직접 접근할 수 있으며 여기서는 반복하지 않는다.

존 스미스(John Smith)는 푸리에 급수 전개를 사용하여 공중 부유 기판의 결합 마이크로스트립 라인 배열에 대한 짝수 및 홀수 모드 프링징 전기 용량에 대한 방정식을 연구했으며, 이 기능을 수행하는 1960년대 스타일의 포트란 코드를 제공한다. 스미스의 연구는 아래 섹션에 자세히 설명되어 있다. 단일 마이크로스트립 라인은 무한히 넓은 간격을 가진 결합 마이크로스트립처럼 작동한다. 따라서 스미스의 방정식은 단일 마이크로스트립 라인의 프링징 전기 용량을 계산하는 데 사용될 수 있는데, 이는 간격에 큰 값을 입력하여 다른 결합 마이크로스트립이 단일 마이크로스트립의 전기적 특성에 더 이상 크게 영향을 미치지 않도록 하는 것으로, 일반적으로 7개 기판 높이 이상의 값이다. 역 마이크로스트립은 덮개 높이와 공중 부유 높이 변수를 교환하여 계산할 수 있다. 금속 인클로저가 없는 마이크로스트립은 금속 덮개 높이에 큰 변수를 입력하여 금속 덮개가 마이크로스트립 전기적 특성에 더 이상 크게 영향을 미치지 않도록 하는 것으로, 일반적으로 기판 위 도체 높이의 50배 이상이다. 역 마이크로스트립은 금속 덮개 높이와 공중 부유 높이 변수를 교환하여 계산할 수 있다.^[20][21]

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+2C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_air}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_air}|_{G=\infty }\\C_{\_air}&=C_{plate\_air}+2C_{f\_air}\\\end{aligned}}}$

여기서 B, C, D는 페이지 오른쪽 상단에 표시된 마이크로스트립 형상으로 정의된다.

공중 부유 또는 역 마이크로스트립에 대한 Zo 및 Ere 값을 계산하려면, 플레이트 전기 용량을 마이크로스트립 라인의 각 측면의 프링징 전기 용량에 더하여 유전체(ε_r) 경우와 공기(ε_ra) 경우 모두에 대한 총 전기 용량을 계산하고, 이 결과를 사용하여 Zo 및 Ere를 계산할 수 있다. 다음 그림 참조.^[22][21]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re}&={\frac {C_{\varepsilon _{r}}}{C_{air}}}\\Zo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air}C_{e_{r}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}.}$

굽힘

마이크로스트립에서 완전한 회로를 구축하려면 스트립의 경로가 큰 각도로 구부러져야 하는 경우가 많다. 마이크로스트립에서 급작스러운 90° 굽힘은 스트립의 신호 중 상당 부분이 소스로 다시 반사되고, 신호의 일부만 굽힘을 따라 전송되게 한다. 낮은 반사를 유도하는 굽힘을 만드는 한 가지 방법은 스트립 경로를 스트립 폭의 최소 3배 반지름의 아크로 구부리는 것이다.^[23] 그러나 훨씬 더 일반적인 기술이며 기판 면적을 더 적게 사용하는 기술은 마이터드 굽힘을 사용하는 것이다.

마이크로스트립 90° 마이터드 굽힘. 마이터 백분율은 100x/d이다.

첫 번째 근사에서, 급작스러운 마이터드되지 않은 굽힘은 접지면과 스트립의 굽힘 사이에 배치된 병렬 전기 용량처럼 작동한다. 굽힘을 마이터 처리하면 금속화 영역이 감소하므로 초과 전기 용량이 제거된다. 마이터 백분율은 마이터드되지 않은 굽힘의 내부 및 외부 모서리 사이의 대각선에서 잘라낸 부분의 비율이다.

광범위한 마이크로스트립 형상에 대한 최적의 마이터는 Douville과 James가 실험적으로 결정했다.^[24] 그들은 최적 마이터 백분율에 대한 좋은 적합도가 다음과 같이 주어진다는 것을 발견했다.

${\displaystyle M=100{\frac {x}{d}}\%=(52+65e^{-(27/20)(w/h)})\%}$

w/h ≥ 0.25 및 기판 비유전율 ε_r ≤ 25 조건에서. 이 공식은 ε_r과 완전히 독립적이다. Douville과 James가 증거를 제시한 실제 매개변수 범위는 0.25 ≤ w/h ≤ 2.75 및 2.5 ≤ ε_r ≤ 25이다. 그들은 공식에서 주어진 값의 4%(원래 d의) 이내의 모든 마이터 백분율에 대해 1.1보다 나은 VSWR(즉, −26 dB보다 나은 반사 손실)을 보고한다. 최소 w/h 0.25에서 마이터 백분율은 98.4%이므로 스트립은 거의 완전히 잘린다.

곡선형 및 마이터드 굽힘 모두에서 전기적 길이는 스트립의 물리적 경로 길이보다 다소 짧다.

불연속 접합부

굽힘 외의 다른 마이크로스트립 불연속성(위 참조)은 모서리라고도 불리며, 개방단, 비아 홀(접지면으로의 연결), 폭의 단계, 마이크로스트립 사이의 간격, 티 접합부, 그리고 교차 접합부 등이 있다. 이러한 유형의 접합부에 대한 모델을 개발하는 데 광범위한 연구가 수행되었으며, Quite universal circuit simulator (QUCS)와 같은 공개 문헌에 문서화되어 있다.^[25]

결합 마이크로스트립

마이크로스트립 라인은 다른 마이크로스트립 라인에 충분히 가깝게 설치되어 라인 간에 전기적 결합 상호 작용이 존재할 수 있다. 이는 의도치 않게 라인이 배치될 때 발생하거나, 원하는 전달 함수를 형성하거나 분산형 요소 필터를 설계하기 위해 의도적으로 발생할 수 있다. 두 라인의 폭이 동일하다면, 결합 전송선의 짝수 및 홀수 모드 분석으로 특성화될 수 있다.

특성 임피던스

짝수 및 홀수 모드 특성 임피던스(Zoe, Zoo) 및 유효 비유전율(ε_ree, ε_reo)에 대한 닫힌 형태 표현식은 명시된 조건 하에서 정의된 정확도로 개발되었다. 이들은 참고 자료에서^[26][27][28] 얻을 수 있으며 여기서는 반복하지 않는다.

푸리에 급수 해법

존 스미스(John Smith)는 전하 분포의 푸리에 급수 전개를 사용하여 공중 부유 마이크로스트립을 포함한 금속 덮개가 있는 결합 마이크로스트립 라인 배열에 대한 짝수 및 홀수 모드 프링징 전기 용량에 대한 방정식을 연구했으며, 이 기능을 수행하는 1960년대 스타일의 포트란 코드를 제공한다. 덮개가 없는 마이크로스트립은 일반적으로 접지면 위 도체 높이의 50배 이상의 덮개 높이를 할당하여 지원된다. 역 마이크로스트립은 덮개 높이와 공중 부유 높이 변수를 역으로 하여 지원된다. 스미스의 방정식은 도체 폭, 도체 분리, 유전율, 덮개 높이 및 유전체 부유 높이의 모든 값에 대해 이론적으로 유효하다는 장점이 있다.^[20]

스미스의 방정식은 병목 현상(429페이지의 방정식 37)을 포함하는데, 여기서 타원 적분 비율의 역수 ${\displaystyle K(1,{\sqrt {1-k^{2}}})/K(1,k)=X}$를 풀어야 한다. 여기서 ${\displaystyle K(,)}$는 1종 완전 타원 적분이고, ${\displaystyle X}$는 알려져 있으며, ${\displaystyle k}$는 풀어야 할 변수이다. 스미스는 ${\displaystyle k}$에 대한 해에 일반적으로 수렴하는 정교한 검색 알고리즘을 제공한다. 그러나 뉴턴 방법 또는 보간법 테이블은 ${\displaystyle k}$에 대한 더 빠르고 포괄적인 해를 제공할 수 있다.

비결합 마이크로스트립의 짝수 및 홀수 모드 Zo 및 ε_re 값을 계산하려면, 플레이트 전기 용량을 마이크로스트립 라인 내부의 짝수 및 홀수 모드 프링징 전기 용량과 외부 측면의 비결합 프링징 전기 용량에 더한다. 비결합 프링징 전기 용량은 도체 간의 간격 또는 분리 값을 무한히 넓게 적용하여 계산할 수 있으며, 이는 접지면 위 도체 높이의 7배 이상 값으로 근사화될 수 있다. 짝수 및 홀수 모드 Zo 및 ε_re는 유전체(ε_r) 경우와 공기(ε_r=1) 경우에 대한 짝수 및 홀수 모드 전기 용량의 함수로 계산된다. 다음 그림 참조.^[22][21]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ree}&={\frac {C_{\varepsilon _{re}}}{C_{air_{e}}}}\\\varepsilon _{reo}&={\frac {C_{\varepsilon _{ro}}}{C_{air_{o}}}}\\Zoe&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{e}}C_{e_{re}}}}}}\\Zoo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{o}}C_{e_{ro}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}}$.

존 스미스의 상세 해법

스미스의 푸리에 급수는 타원 적분 비율 ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}$에 대한 역해 k를 필요로 하며, 여기서 K()는 1종 완전 타원 적분이다. 스미스는 k를 찾기 위한 정교한 검색 알고리즘을 제공하지만, 뉴턴 방법을 사용하면 더 빠르고 정확한 수렴을 얻을 수 있으며, 보간법 테이블을 사용할 수도 있다. ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}$는 k가 0과 1에 접근할수록 극도로 비선형적이 되므로, 뉴턴 방법은 함수 ${\displaystyle K{\big (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\big )}/K{\big (}e^{k_{lg}}{\big )}}$에서 더 잘 작동한다. 일단 k_lg 값이 해결되면, ${\displaystyle k=e^{k_{lg}}}$로 k를 얻는다.

k_lg를 풀기 위한 뉴턴 방법 표현식은 표준 미분 규칙을 사용하여 다음과 같다. 타원 적분 미분은 타원 적분 페이지에서 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{lg}[n+1]&=k_{lg}[n]-{\frac {F_{[}n]-F_{known}}{F'}}\\F&={\frac {K{\bigg (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\bigg )}}{K{\bigl (}e^{k_{lg}}{\bigl )}}}\\F'&={\begin{cases}\approx -{\frac {2}{\pi }},&{\text{if }}k_{lg}<\approx -14\\{\frac {dF}{dk_{lg}}},&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\\{\text{then: }}&\\k&=e^{k_{lg}}\\\end{aligned}}}$

k_lg와 k를 찾기 위한 보간 테이블은 아래에 나와 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&k_{lg}{\text{ and }}k{\text{ as an inverse function of }}{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle F(x)={\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}}$	${\displaystyle k_{lg}=ln(k)=\ln {\big (}F^{-1}(x){\big )}}$	${\displaystyle k=F^{-1}(x)=e^{k_{lg}}}$
440.64390	-690.77552	1.×10−300
30.199966	−46.051702	1.×10−20
14.075383	−20.723266	1.×10−9
8.2118984	−11.512925	1.×10−5
5.2801558	−6.9077553	0.001
3.8142689	−4.6051702	0.01
2.3468155	−2.3025851	0.1
1.9006702	−1.6094379	0.2
1.2792616	−0.69314718	0.5
1	−0.34657359	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$
< 1	${\displaystyle ln{\bigg (}{\sqrt {1-{\bigg [}F^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{F(x)}}{\bigg )}{\bigg ]}^{2}}}{\bigg )}}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\bigg [}F^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{F(x)}}{\bigg )}{\bigg ]}^{2}}}}$
0.87743766	−0.22314355	0.8
0.72553432	−0.10536052	0.9
0.47032697	−0.010050336	0.99
0.34958259	−0.0010005003	0.999
0.1976472	−1.0000005×10−6	0.999999
0.1377727	−9.9999997×10−10	1 − 10−9
0.085791287	−9.9920072×10−16	1 − 10−15

${\displaystyle F(x)<1}$ 값의 경우, 뉴턴 방법이나 보간법에 사용하기 위해 ${\displaystyle k_{lg}}$ 또는 ${\displaystyle ln(k)}$ 함수의 선형성을 최대화하기 위해 테이블에 표시된 관계를 적용하는 것이 유용하다. 예를 들어, ${\displaystyle F^{-1}(.5)={\sqrt {1-{\big [}F^{-1}(2){\big ]}^{2}}}=0.985\ 171\ 43}$이다.

타원 적분과 야코비 타원함수를 사용하여 스미스의 연구를 바탕으로 총 짝수 및 홀수 모드 전기 용량 값을 계산하려면^[29]. 스미스는 타원 함수 페이지에서 찾을 수 있는 세 번째 빠른 야코비 타원 함수 추정 알고리즘을 사용한다.^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{let:}}&\\C&={\text{ substrate dielectric height}}\\D&={\text{ substrate suspended height}}\\B&={\text{ substrate cover height (50(C+D) for uncovered micrstrips)}}\\W_{lim}&={\text{ misrostrip conductor width}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\G_{lim}&={\text{ gap or speparation between the microstrips conductors}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\\varepsilon _{r}&={\text{ dielectric constant}}\\\varepsilon _{o}&={\text{ vacuum permittivity }}\\\\{\text{then:}}\\{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}&={\frac {W_{lim}+G_{lim}}{2(C+D)}}={\text{ where }}K(){\text{ is the complete ellipic integral of the first kind}}\\{\text{determine }}&{\text{ the value of k, then proceed:}}\\\\N_{eo}&={\begin{cases}1,&{\text{for even mode}}\\2,&{\text{for odd mode}}\end{cases}}\\M_{max}&=30{\text{ (or greater)}}\\W_{egr}&={\frac {W_{lim}K({\sqrt {1-k^{2}}})}{W_{lim}+G_{lim}}}\\W_{n}&={\frac {W_{egr}}{M_{max}-2}}\\(SN)_{wk}&=sn{\big (}W_{egr},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}{\text{ where sn() is a jacobi elliptic function}}\\(SN)_{wk2}&={\begin{cases}(SN)_{wk},&{\text{for odd mode}}\\(SN)_{wk}{\sqrt {1-k^{2}}},&{\text{for even mode}}\end{cases}}\\C_{T}&=4{\frac {K((SN)_{wk2})}{K{\big (}{\sqrt {1-(SN)_{wk2}^{2}}}{\big )}}}\\\Phi [m]&={\frac {1+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})}{coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})(\varepsilon _{r}+coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}}))}}\\&-{\frac {tanh({\frac {m\pi (D+C)}{W_{lim}+G_{lim}}})}{\varepsilon _{r}+1}}\\c[m]&=cos{\bigg (}{\frac {m\pi W_{egr}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}\\(SN)_{we}[j]&=sn{\big (}(j-1)W_{n},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}\\t[j]&={\sqrt {\frac {1-{\big (}(2{\sqrt {1-k^{2}}}-1+(1-{\sqrt {1-k^{2}}})N_{eo})(SN)_{we}[j]{\big )}^{2}}{1-{\bigg (}{\frac {(SN)_{we}[j]}{(SN)_{wk}}}{\bigg )}^{2}}}}\\\rho [m]&=1-c[m]+4t[M_{max}-2]{\big (}cos{\big (}{\frac {m(W_{egr}-W_{n})\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\big )}-c(m){\big )}\\&+\sum _{j=2,j+=2}^{M_{max}-2}4t[j](cos{\bigg (}{\frac {(j-1)\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])+2t(j+1)(cos{\bigg (}{\frac {j\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])\\C_{pl}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\{\frac {1}{C_{all}}}&={\frac {\pi }{2C_{T}^{2}}}{\bigg [}\sum _{m=N_{eo},m+=2}^{\infty }{\frac {\rho (m)^{2}\Phi (m)}{m}}{\bigg ]}+{\begin{cases}2({\frac {1}{C_{T}}}-{\frac {H}{2\pi }})/(\varepsilon _{r}+1)+{\frac {W}{C_{pl}(W_{lim}+G_{lim})}},&{\text{for even mode}}\\{\frac {2}{(\varepsilon _{r}+1)C_{T}}},&{\text{for odd mode}}\\\end{cases}}\\&{\text{break the summation when }}{\frac {|\phi [m]|}{\varepsilon _{r}+1}}<10^{-6}{\text{ or less}}\\C_{f(e/o)}&={\frac {\varepsilon _{o}(C_{all}-C_{pl})}{2}}{\text{ farads per unit length }}\\\end{aligned}}}$

총 전기 용량을 얻으려면:^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{e\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fe\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\C_{o\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fo\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }\\C_{e\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\C_{o\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle (G=\infty )}$는 접지면 위 도체 높이의 ${\displaystyle (G=7)}$배 이상으로 근사화될 수 있다.

예제 및 정확도 비교

스미스는 자신의 푸리에 급수 전기 용량 해의 정확도를 당시 발행된 테이블과 비교한다. 그러나 보다 현대적인 접근 방식은 짝수 및 홀수 모드 임피던스와 유효 유전율 결과를 Sonnet과 같은 전자기 시뮬레이션에서 얻은 결과와 비교하는 것이다. 아래 예제는 B = 2.5 mm, C = 0.4 mm, D = 0.6 mm, W = 1.5 mm, G = 0.5 mm, Er = 12 조건에서 수행되었으며, B, C, D는 페이지 오른쪽 상단에 표시된 마이크로스트립 형상으로 정의된다. 예제는 log(k) 값, 다음 k를 계산하는 것으로 시작하여 k, ε_r, 기판 형상 및 도체 형상을 사용하여 전기 용량을 계산하고 이어서 짝수 및 홀수 모드 임피던스 및 유효 유전율(Z_oe, Z_oo, ε_re 및 ε_ro)을 계산한다.

소네트 시뮬레이션은 4096 × 4096의 고해상도 그리드 해상도, 각 측면에 7 mm의 기준면을 사용하여 수행되었으며, 10 mm 길이의 결합 선을 시뮬레이션한다. Y 파라미터 결과는 결합 전송선에 대한 Y 파라미터 방정식을 대수적으로 역전시켜 짝수 및 홀수 모드 Zo 및 ε_r로 변환된다.

타원 적분 비율 및 역 결과

	0.5 mm의 유한 간격	7 mm로 근사화된 무한 간격
${\displaystyle {\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}}$	1	4.25
ln(k)	−0.346574	−5.28960
k	0.707106	0.00504380

전기 용량 결과

	유전체를 포함한 미터당 전기 용량	공기를 포함한 미터당 전기 용량
Cplate	26.2830 pF/m	18.5938 pF/m
Cfeven	4.24182 pF/m	2.67672 pF/m
Cfodd	104.822 pF/m	18.5938 pF/m
Cf	26.5304 pF/m	8.11505 pF/m
total Ceven	57.0552 pF/m	29.3856 pF/m
total Codd	157.636 pF/m	44.3730 pF/m

존 스미스의 짝수 및 홀수 모드 임피던스 및 유효 유전율 결과와 소네트 em 시뮬레이션과의 비교.

	스미스	소네트	% 차이
Zoe	81.4638	81.5178	0.0662%
Zoo	39.8834	39.3512	1.35%
εree	1.94161	1.92135	1.05%
εreo	3.55251	3.61519	1.73%

비대칭 결합 마이크로스트립

두 개의 마이크로스트립 라인이 결합이 발생할 수 있을 만큼 충분히 가깝게 존재하지만 폭이 대칭적이지 않은 경우, 짝수 및 홀수 모드 분석을 직접 적용하여 라인을 특성화할 수 없다. 이 경우 라인은 일반적으로 자체 및 상호 인덕턴스와 전기 용량으로 특성화된다. 정의 기술 및 표현식은 참고 자료에서 얻을 수 있다.^{[30][31][32][33]}

다중 결합 마이크로스트립

어떤 경우에는 여러 마이크로스트립 선이 서로 결합될 수 있다. 이 경우 각 마이크로스트립 선은 자체 전기 용량과 인접하지 않은 마이크로스트립을 포함한 다른 모든 선과의 갭 전기 용량을 갖게 된다. 분석은 위의 비대칭 결합 사례와 유사하지만, 전기 용량 및 인덕턴스 행렬은 NXN 크기가 되며, 여기서 N은 서로 결합된 마이크로스트립의 수이다. 인접하지 않은 마이크로스트립 전기 용량은 유한요소법(FEM)을 사용하여 정확하게 계산될 수 있다.^[34][35][33]

손실

도체 및 유전체로 인한 손실로 인한 감쇠는 일반적으로 마이크로스트립 시뮬레이션 시 고려된다. 총 손실은 마이크로스트립 길이에 따라 달라지므로, 감쇠는 일반적으로 단위 길이당 감쇠 단위로 계산되며, 총 손실은 감쇠 × 길이로 계산된다. 감쇠 단위는 네퍼를 사용하지만, 일부 응용 분야에서는 dB 단위의 감쇠를 사용할 수도 있다. 마이크로스트립 특성 임피던스(Zo), 유효 비유전율(Ere) 및 총 손실(${\displaystyle \alpha l}$)이 모두 알려진 경우 마이크로스트립은 표준 전송선로로 모델링될 수 있다.

도체 손실

도체 손실은 도체 재료의 "비저항" 또는 "저항률"로 정의되며, 일반적으로 문헌에서 ${\displaystyle \rho }$로 표현된다.^[36] 각 도체 재료는 일반적으로 관련된 공표된 저항률을 갖는다. 예를 들어, 일반적인 도체 재료인 구리는 공표된 저항률 1.68×10⁻⁸ Ω.m을 갖는다.^[37] E. Hammerstad와 Ø. Jensen은 도체 손실로 인한 감쇠에 대해 다음 표현식을 제안했다.^[38][39]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\frac {R^{s}}{Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c}&={\frac {27.3R^{s}}{\pi Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ dB per unit length}}\\{\text{Where$ :}}&\\R^{s}&={\frac {\rho }{\delta }}={\sqrt {\frac {\rho \omega u_{o}}{2}}}\\K_{i}&=exp{\bigg [}-1.2{\bigg (}{\frac {Z_{o}}{n_{o}}}{\bigg )}^{0.7}{\bigg ]}\\K_{r}&=1+{\frac {2tan^{-1}(1.4({\frac {\Delta }{\delta }})^{2})}{\pi }}\end{aligned}}} 그리고

${\displaystyle R^{s}}$ = 도체의 시트 저항

${\displaystyle K_{i}}$ = 전류 분포 계수

${\displaystyle K_{r}}$ = 표면 거칠기로 인한 보정 항

${\displaystyle u_{o}}$ = 진공 투자율 (${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}H/m}$)

${\displaystyle \rho }$ = 비저항, 또는 도체의 저항률

${\displaystyle \Delta }$ = 기판의 유효 (rms) 표면 거칠기

${\displaystyle \delta }$ = 표피 깊이

${\displaystyle n_{o}}$ = 진공 중 파동 임피던스 (376.730313412(59) Ω‍^[40])

표면 거칠기를 무시하면 ${\displaystyle K_{\text{r}}}$은 표현식에서 사라지며, 이는 자주 발생한다.

일부 저자는 표피 깊이 대신 도체 두께를 사용하여 시트 저항 R^s를 계산한다.^[41] 이 경우,

${\displaystyle R^{s}={\frac {\rho }{t}}}$

여기서 t는 도체 두께이다.

유전체 손실

유전체 손실은 유전체 재료의 "손실 탄젠트"로 정의되며, 일반적으로 문헌에서 ${\displaystyle tan\delta _{d}}$로 표현된다. 각 유전체 재료는 일반적으로 관련된 공표된 손실 탄젠트를 갖는다. 예를 들어, 일반적인 유전체 재료인 알루미나는 주파수에 따라 0.0002 to 0.0003의 공표된 손실 탄젠트를 갖는다.^[42] 웰치와 프랫, 그리고 슈나이더는 유전체 손실로 인한 감쇠에 대해 다음 표현식을 제안했다.^[43][44][38]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{d}&={\frac {tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{d}&={\frac {27.3{\text{ }}tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}$.

유전체 손실은 일반적으로 도체 손실보다 훨씬 작으며 일부 응용 분야에서는 자주 무시된다.

결합 마이크로스트립 손실

결합 마이크로스트립 손실은 단일선 마이크로스트립의 특성 임피던스, 유전율 및 유효 유전율에 사용되는 것과 동일한 짝수 및 홀수 모드 분석을 사용하여 추정할 수 있다. 결합선의 짝수 모드 및 홀수 모드는 해당 단일선 Zo 및 Ere에서 계산된 독립적인 도체 및 유전체 손실 값을 갖는다.^[45][46]

휠러는 도체 사이의 간격을 고려하는 도체 손실 해법을 제안했다.^[45]${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c(e/o)}&={\frac {R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o)}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c(e/o)}&={\frac {8.688R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}$ 여기서:

h = 접지면 위 도체 높이

S = 도체 사이의 간격

W = 도체 폭

t = 도체 두께

도체의 간격, 두께 및 폭에 대한 편미분은 디지털 방식으로 계산될 수 있다.

같이 보기

• 분산형 요소 필터
• 느린파 결합기
• 스퍼라인, 마이크로스트립 노치 필터