스칼라 행렬

선형대수학에서 스칼라 행렬(-行列, 영어: scalar matrix)은 모든 주대각선 성분이 같은 대각 행렬이다. 즉, 단위 행렬의 어떤 스칼라에 대한 배수가 되는 행렬이다.

정의

환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 스칼라 행렬(-行列, 영어: scalar matrix)은 모든 대각 성분이 같은 대각 행렬이다. 단위 행렬을 ${\displaystyle 1_{n\times n}}$로 쓸 때, 대각 성분이 ${\displaystyle r\in R}$인 스칼라 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle r1_{n\times n}=\operatorname {diag} (\underbrace {r,\dots ,r} _{n})={\begin{pmatrix}r\\&r\\&&\ddots \\&&&r\end{pmatrix}}_{n\times n}}$

성질

환 ${\displaystyle R}$와 그 행렬환 사이에는 다음과 같은 자연스러운 단사 환 준동형이 존재하며, 이에 따라 스칼라 행렬들은 원래 환 ${\displaystyle R}$와 동형인 환을 이룬다.^{[1]:504, §XIII.1}

${\displaystyle R\hookrightarrow \operatorname {Mat} (n;R)}$

${\displaystyle r\mapsto r1_{n\times n}}$

가환성

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to V}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 모든 선형 변환과 가환한다. 즉, 임의의 선형 변환 ${\displaystyle U\colon V\to V}$에 대하여, ${\displaystyle TU=UT}$이다.
• 모든 전단사 선형 변환과 가환한다.
• 모든 사영 작용소와 가환한다.
• 항등 함수의 스칼라배 ${\displaystyle T=a\operatorname {id} _{V}}$ (${\displaystyle a\in K}$)이다.

특히, 일반 선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)}$의 중심은 0이 아닌 스칼라 행렬들이다.

예

단위 행렬은 스칼라 행렬이다. 영행렬은 스칼라 행렬이다.

작은 크기의 스칼라 행렬들은 다음과 같다.

${\displaystyle r1_{1\times 1}={\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle r1_{2\times 2}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle r1_{3\times 3}={\begin{pmatrix}r&0&0\\0&r&0\\0&0&r\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle r1_{4\times 4}={\begin{pmatrix}r&0&0&0\\0&r&0&0\\0&0&r&0\\0&0&0&r\end{pmatrix}}}$