자이페르트-판 캄펀 정리

대수적 위상수학에서 자이페르트-판 캄펀 정리(-定理, 영어: Seifert–van Kampen theorem)는 위상 공간의 기본군을 두 조각으로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 정리이다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 두 부분 공간 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$가 주어졌고, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\cup \operatorname {int} B=X}$

또한, 부분 공간 ${\displaystyle C\subseteq X}$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle A}$ 또는 ${\displaystyle B}$ 또는 ${\displaystyle A\cap B}$의 임의의 경로 연결 성분과의 교집합은 공집합이 아니다.

그렇다면, 자이페르트-판 캄펀 정리에 따르면 다음 명제들이 성립한다.

• ${\displaystyle C}$는 ${\displaystyle X}$의 모든 경로 연결 성분들과 교차한다.
• 포함 관계에 의하여 유도되는 다음과 같은 기본 준군의 사상들은 준군 범주에서의 밂을 이룬다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}\Pi _{1}(A\cap B,C)&\to &\Pi _{1}(A,C)\\\downarrow &&\downarrow \\\Pi _{1}(B,C)&\to &\Pi _{1}(X,C)\end{matrix}}}$

특히, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$가 경로 연결 공간이며, ${\displaystyle C=\{c\}\subseteq A\cap B}$는 한원소 집합이며, ${\displaystyle A\cap B}$는 공집합이 아닌 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle X}$는 경로 연결 공간이며, 다음과 같은, 기본군의 (군의 범주에서의) 밂이 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(A\cap B,c)&\to &\pi _{1}(A,c)\\\downarrow &&\downarrow \\\pi _{1}(B,c)&\to &\pi _{1}(X,c)\end{matrix}}}$

예

원

원 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$에서,

${\displaystyle A=(-1/3,2/3)/\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {S} ^{1}}$

${\displaystyle B=(1/3,4/3)/\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {S} ^{1}}$

를 생각하자. 또한

${\displaystyle C=\{0,1/2\}/\mathbb {Z} \subsetneq A\cap B}$

라고 놓자. 그렇다면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$ 및 ${\displaystyle A\cap B}$의 밑점 집합 ${\displaystyle C}$에서의 기본 준군은 다음과 같다. (항등 사상은 생략하였다.)

${\displaystyle \Pi _{1}(A,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}{{\xrightarrow {\phi }} \atop {\xleftarrow[{\phi ^{-1}}]{}}}{\overset {1/2}{\bullet }}}$

${\displaystyle \Pi _{1}(B,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}{{\xrightarrow {\phi '^{-1}}} \atop {\xleftarrow[{\phi '}]{}}}{\overset {1/2}{\bullet }}}$

${\displaystyle \Pi _{1}(A\cap B,C)\colon {\overset {0}{\bullet }}\qquad {\overset {1/2}{\bullet }}}$

따라서, 원의 기본은 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$의 준군들의 쌍대곱이다. 이 경우 항등 사상이 아닌 사상 ${\displaystyle \phi '\circ \phi \colon 0\to 0}$이 존재하므로, ${\displaystyle \hom(0,0)}$ 및 ${\displaystyle \hom(1/2,1/2)}$ 둘 다 무한 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$이다. ${\displaystyle 0}$과 ${\displaystyle 1/2}$는 ${\displaystyle \Pi _{1}(\mathbb {S} ^{1},\{0,1/2\})}$에서 서로 동형이다. 따라서 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$의 기본군은 무한 순환군이다.

구

2차원 이상의 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$에서, 세 개의 서로 다른 점 ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {S} ^{n}}$를 잡고,

${\displaystyle A=\mathbb {S} ^{n}\setminus \{a\}}$

${\displaystyle B=\mathbb {S} ^{n}\setminus \{b\}}$

로 놓자. 그렇다면 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$ 둘 다 ${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$과 위상 동형이며, 특히 축약 가능 공간이다. ${\displaystyle A\cap B}$는 기둥 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}\times \mathbb {R} }$와 위상 동형이다.

자이페르트-판 캄펀 정리에 따라, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{n},c)=\pi _{1}(A,c)*_{\pi _{1}(A\cap B,c)}\pi _{1}(B,c)}$

그런데 ${\displaystyle \pi _{1}(A)}$와 ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ 둘 다 자명군이므로, ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{n})}$ 역시 자명군이다.

역사

헤르베르트 자이페르트^{[1]:§3, 33–36[2]:199}와 에흐베르튀스 판 캄펀^[3]이 증명하였다. 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 이를 기본 준군에 대하여 일반화하였다.^[4]

같이 보기

• 준군