미분기하학에서 천-베유 준동형([陳]-Weil準同型, 영어: Chern–Weil homomorphism)은 리 군의 작용에 대하여 불변인 리 대수 변수 다항식을 드람 코호몰로지 동치류에 대응시키는 환 준동형이다.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
- 의 복소수 리 대수
- 위의 다항식환
- 위의 의 딸림표현 작용. 이에 따라 는 군환 의 왼쪽 가군을 이룬다.
- 의 작용에 대한 불변량 부분 대수 .
- 의 불변량 부분 대수는 동차 다항식 부분 공간들의 합으로 다음과 같이 분해된다.
- 동차 다항식 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 개의 변수를 갖는 함수 가 존재한다.
또한, 다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
- -매끄러운 주다발
그렇다면, 천-베유 준동형은 다음과 같은 -결합 대수 준동형이다.
구체적 정의
천-베유 준동형은 구체적으로 다음과 같이 주어진다. 우선, 위의 임의의 주접속을 고르고, 그 곡률이
라고 하자. 그렇다면, 에 대하여 다음을 정의하자.
여기서 사용된 기호는 다음과 같다.
- 는 주다발 전체 공간의 점
- 는 주다발의 한 접공간의 개의 벡터들
- 는 순열의 부호수
- 는 크기 의 대칭군
그렇다면, 다음을 보일 수 있다.
- 의 -불변성에 의하여, 는 위의 닫힌 미분 형식이다. 즉, 이다.
- 가 되는 유일한 미분 형식 가 존재하며, 이 또한 닫힌 미분 형식이다.
- 또한, 는 사용된 주접속에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지 동치류 는 주접속에 의존하지 않는다.
이에 따라, 천-베유 준동형은 다음과 같다.
1차 천 특성류
(또는 이에 대응하는 콤팩트 군 )을 생각하자. 그 분류 공간은 무한 차원 복소수 사영 공간
이며, 그 유리수 계수 코호몰로지는 설리번 대수
이다.
는 아벨 군이므로, 모든 다항식이 불변량이다. 즉, 이 경우
이다.
-주다발은 연관 벡터 다발 구성을 통하여 복소수 선다발과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 천 특성류
로서 주어진다.
1940년대 말에 천싱선과 앙드레 베유가 도입하였다. 이 내용은 천싱선의 1951년 프린스턴 고등연구소 강의록에서 최초로 출판되었으며,[1]:64–65, §Ⅲ.6 이 강의록의 서문에서 천싱선은 베유의 공헌을 다음과 같이 인정하였다.
“ |
나는 또한 앙드레 베유씨와 자주 대화를 나눌 수 있었던 특권에 대하여 언급하고 싶습니다. 그의 미출판 원고는 [천-베유 준동형을 다루는] 3장의 전개에 크게 영향을 끼쳤습니다.
I wish also to acknowledge my privilege of having frequent conversations with André Weil. An unpublished manuscript of his has greatly influenced the presentation in Chapter Ⅲ. |
” |
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- Bott, R. (1973), “On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups”, 《Advances in Mathematics》 11: 289–303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1.
- Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.
- Chern, S.-S.; Simons, J (1974), “Characteristic forms and geometric invariants”, 《Annals of Mathematics》, Second Series 99 (1): 48–69, JSTOR 1971013.
- Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), 《Foundations of Differential Geometry, Vol. 2》 new판, Wiley-Interscience (2004에 출판됨).
- Narasimhan, M.; Ramanan, S. (1961), “Existence of universal connections”, 《Amer. J. Math.》 83: 563–572, doi:10.2307/2372896, JSTOR 2372896.
- Morita, Shigeyuki (2000), “Geometry of Differential Forms”, 《Translations of Mathematical Monographs》 201.