Analysis mathematica

Analysis^[1] (-eos, f. ^[1]) est disciplina mathematica saeculo duodevicensimo orta, quam creaverunt et evolverunt Galilaeus, Leibnitius, Newtonus, Eulerus, Cantor, Weierstrass, et alii mathematici docti, calculo infinitesimali iustificando.

Ideae principales Analysis sunt functio et limes, quibus integrale et derivativum bene definiuntur. Mathematici diu formulis usi sunt, sed functionis idea primus saeculo XVII Leibnitius usus est, quam postea Eulerus sensu hodierno elaboraturus erat. Limes, qui ad finem serierum mutationum pertinet, vim habet quandoque definitio distantiae vel propinquitatis praebetur. Analysis est organum principale mathematicae applicatae; analysis numerica problemata analysis approximationibus solvit. Analysis est quasi contraria mathematicae discretae, quod analysis de quantitatibus continuis, non discretis, tractat.

Ideae principales

Functio

Graphicum cuiusdam functionis differentiabilis in intervallo [-1,1.5] definitae:
${\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle f\colon [-1,1.5]\to [-1,1.5]\\&\textstyle x\mapsto {\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}}$

In analysi functio dicitur formula mathematica seu regula quae determinat quantitatem variabilem quandam per aliquam quantitatem vel quantitates variabiles.^[2][3] Exempli gratia, si definimus functionem ${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$, dicimus z esse functionem variabilium x et y. Quantitas z sic determinata dicitur dependens, et quantitas determinans sicut x dicitur independens. Quantitas sicut x etiam dicitur argumentum functionis.

Definitio functionis non est perfecta nisi etiam variabilium independentium fons datur, qui functionis dominium dicitur. Exempli gratia ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ dari potest, omnes numeros et x et y reales esse dicens. Vel ${\displaystyle (x,y)\in [0,1]\times [0,1]}$ dari potest, si soli numeri x et y inter 0 et 1 reales adhibentur. Campus per quem quantitas dependens variat dicitur functionis codominium.

Sunt multae species functionum:

• functio iniectiva
• functio superiectiva
• functio biiectiva
• functio inversa
• functio continua aut discontinua
• functio differentiabilis

Proprietas suprema quae est omni functioni necessaria est solum unum valorem habere siquando omnia functionis argumenta sunt specificata. Ergo, ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ est functio, quamquam ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {x}}}$ non est, quia duos valores cuidam quantitati x simul indicat.

Limes

Definitio limitis: si x est prope p valorem, f(x) est prope L valorem. Hoc est, ut f(x) differat ab L per non plus quam ε, fac ut x differat ab p per non plus quam δ.

In analysi limes vocatur quantitas vel functio quae evenit cum una ex functionis variabilibus fini cuidam sensim appropinquat. Ergo, cum functionem ${\displaystyle y=5x^{2}}$ habemus, limes y est 20, si argumentum variabile x valori 2 appropinquat. Limes etiam dicitur finis cui variabile x appropinquat, sicut in integrali ${\displaystyle \int _{a}^{b}\sin x\,dx}$ ubi dicimus a esse limitem integralis inferum et b superum.

Limitis species maximi momenti reperitur in derivativo functionis ${\displaystyle y=f(x)}$ simplice

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

qui gradum crescendi in omni puncto huius curvae dat. In notatione data limes evenit cum ${\displaystyle \Delta x}$ valori 0 appropinquat et ipso dx denotatur. Limes sicut illud derivativum non semper potest haberi, exempli gratia si linea tangens singularis non exsistit in puncto quodam curvae. Solae eae functiones, igitur, quae derivativa admittunt dicuntur differentiabiles.

Ad limitem decernendum, definitio distantiae propinquitatisque quaedam est necessaria. Definitio naturalis, si functio argumentaque sua valores reales habeant, est distantia data secundum formulam Pythagoream. Pro distantia inter puncta vectoralia ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{3}}$ habemus

${\displaystyle ||a-b||={\sqrt {(a_{x}-b_{x})^{2}+(a_{y}-b_{y})^{2}+(a_{z}-b_{z})^{2}}}}$,

et pro distantia inter functiones continuas f et g habemus, inter alias definitiones possibiles,

${\displaystyle ||f-g||={\sqrt {\int _{z}^{b}|f(x)-g(x)|^{2}\,dx}}\,}$.

Mensura

Mensura mathematica est similis longitudini vel areae, sed notio generalius. In spatio topologico, metricum definiri potest quod longinquitates definit; spatium quod tale metricum habet est spatium metricum. Mensura generalius est metric.^[4] Integrale calculi ordinarii est limes summationis Riemannianae in spatio metrico. Integrale abstractum est limes similis summationes in spatio mensurato.

Notio mensurae saeculo 19 a Jordan, Peano, Lebesgue definitur.^[5]

Continuitas

Functio valoris absoluti quae est species functionis continua, sed non est differentiabilis in puncto x = 0: limes ibi sicut in definitione derivativi specificata non exsistet.

Functiones maximi momenti in analysi sunt functiones continuae. Graphum functionis continuae nullum intervallum habet -- id quod non est definitio mathematica, scilicet! Definitio recta est: functio f est continua in puncto x = x₀ si ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).}$ Functio f est continua in intervallo (a, b) si continua est in omne intervalli puncto. Possumus dicere functio est "continua a dextera" in puncto x₀ si ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$ verum est quando x < x₀, et functio est "continua a sinistra" si limes exstat quando x > x₀. Tunc, functio f est continua in intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ si continua est a sinistra in puncto x = a, continua a dextra in puncto x = b, et continua in omnibus punctis intervallis a < x < b.