Continuitas (mathematica)

Continuitas in topologia est functio realis dominii ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ super intervallo reali ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ continua est, si graphum functionis ${\displaystyle f}$ stilo non sublato describi potest. Pars mathematicae quae de functionibus continuis tractat est analysis; pars quae de rebus discretis tractat est mathematica discreta, in qua sunt calculus coniunctionibus vel "ars combinatoria," arithmetica integrorum, et probabilitas.

Graphum cuiusdam functionis differentiabilis continuaeque in intervallo [-1,1.5] definitae:
${\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle f\colon [-1,1.5]\to [-1,1.5]\\&\textstyle x\mapsto {\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}}$

Definitio pro functionis realibus

Sunt duae definitiones continuitatis quae aequae sunt:

1. Regula Epsilon-Delta^[1]:${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ continua in ${\displaystyle x_{0}\in D}$ est, si
   omnibus ${\displaystyle \varepsilon >0}$ est ${\displaystyle \delta >0}$, ut omnibus numeris dominii ${\displaystyle x\in D}$, qui obtemperent
   ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$, valeat ${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }$.
2. Regula sequentiarum^[2]: ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ est continua in ${\displaystyle x_{0}\in D}$, si, cum quaelibet sequentia ${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (x_{k}\in D)}$ posita est, quae ad ${\displaystyle x_{0}}$ convergit, etiam ${\displaystyle f(x_{k})}$ ad ${\displaystyle f(x_{0})}$ convergit.

Functio appellatur continua in ${\displaystyle D}$, si est continua in locis omnibus dominii.

Si est ${\displaystyle x_{0}\in D}$, ubi functio continua non est, ibi discontinua appellatur.

Exempla

• Functiones ${\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \sin x}$ et ${\displaystyle \cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \cos x}$ continuae sunt in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Functio signi ${\displaystyle \ \operatorname {sgn} (x)={\begin{cases}1\ ,&x>0\ ,\\0\ ,&x=0\ ,\\-1\ ,&x<0\ ,\end{cases}}}$
  in omnibus locis ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ continua est, sed loco 0 discontinua: limes laevus est −1, dexter autem +1 ideoque limes ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\,\operatorname {sgn} (x)}$ non est.
• Functio Dirichlet

  ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \ ,\ f(x):=\left\{{\begin{array}{ll}1\ ,&x\in \mathbb {Q} \ ,\\0\ ,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \ ,\end{array}}\right.}$

ubique discontinua est.

Illustratio functionum discontinuarum:

• 
  Functio discontinua
• 
  Functio quidem discontinua, sed tamen continua de laevo latere
• 
  Functio quidem discontinua, sed tamen continua de dextro latere

Definitio pro functionis spatiorum topologicorum

Est defintio usitata:

1. Regula copiarum apertarum: Sint ${\displaystyle X}$et ${\displaystyle Y}$spatia topologica, ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ functio et ${\displaystyle x_{0}\in X}$. ${\displaystyle f}$continua in ${\displaystyle x_{0}}$est, si pro qualibet circumiecta ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle f(x_{0})}$est circumiecta ${\displaystyle U}$a ${\displaystyle x_{0}}$, ut ${\displaystyle f(U)\subset V}$ sit.^[3]

Theoremata

• Si functiones ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ continuae in dominio communi ${\displaystyle D}$ sunt, tum et ${\displaystyle f+g}$ et ${\displaystyle f-g}$ et ${\displaystyle f\cdot g}$ continuae super ${\displaystyle D}$ sunt; si functioni g insuper nulli loci valoris 0 (id est: nullus est numerus ${\displaystyle x_{0}\in D}$ ut ${\displaystyle g(x_{0})=0}$) sint, tum et ${\displaystyle {\frac {f}{g}}}$ continua est.
• Compositio ${\displaystyle f\circ g}$ duarum functionum continuarum est continua.

• Continuitas functionis inversae:

Si ${\displaystyle I}$ est intervallum in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$ est functio continua, rigide crescens aut cadens, tum imago intervalli ${\displaystyle I}$ sub ${\displaystyle f}$ est intervallum ${\displaystyle J}$,
${\displaystyle f\colon I\to J}$ est biiectiva, et functio inversa ${\displaystyle f^{-1}\colon J\to I}$ est continua.

• Theorema valorum omnium acceptorum:

Si ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ est functio continua, cui ${\displaystyle a<b}$ et ${\displaystyle f(a)<f(b)}$ valet, tum omnibus numeris ${\displaystyle d\in [f(a),f(b)]}$ est ${\displaystyle x\in [a,b]}$, ut ${\displaystyle f(x)=d}$ valeat.

Item in casu ${\displaystyle f(a)>f(b)}$ et ${\displaystyle d\in [f(b),f(a)]}$.

• Theorema extremitatum acceptarum:

Si ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ est functio continua, tum sunt numeri ${\displaystyle t,h\in [a,b]}$, ut

${\displaystyle f(t)\leq f(x)\leq f(h)}$ omnibus numeris ${\displaystyle x\in [a,b]}$ valeat.

Nexus interni

• Analysis mathematica
• Functio differentiabilis
• Limes (mathematica)
• Polynomium
• Signum
• Theoria copiarum
• Topologia