Systema aequationum linearium

Systema aequationum linearium est duae aut plures aequationum linearium quarum variabiles idem sunt. Debemus resolvere has aequationes: hoc est, quantitates invenire, quae omnes aequationes satisfacerent. Pars rei mathematicae quae de talibus systematis tractat est algebra linearis.

Systema duarum aequationum, x - y = -1 et 3x + y = 9, quarum solutio est x = 2, y = 3. Linea quae aequationes repraesentant in puncto (2,3) intersectunt.

Exempli gratia, ponamus has aequationes:

${\displaystyle 2x+3y=5}$

${\displaystyle 3x+4y=7}$

Facile est videre numeros ${\displaystyle x=1,y=1}$ aequationes satisfacere.

Si systema continet plures variabiles quam aequationes, aut habet numerum infinitum solutionum, aut nullam solutionem habet.^[1] Systema, quod tot variables habet quot aequationes, habet aut numerum infinitum solutionem, aut nullam solutionem, aut unam modo.^[2]

Sint aequationes

${\displaystyle {a_{1,1}}{x_{1}}+{a_{1,2}}{x_{2}}+...+{a_{1,n}}{x_{n}}=b_{1}}$

...

${\displaystyle {a_{m,1}}{x_{1}}+{a_{m,2}}{x_{2}}+...+{a_{m,n}}{x_{n}}=b_{m}}$

Deinde possumus matricem facere A:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&...&a_{1,n}\\...\\a_{m,1}&a_{m,2}&...&a_{m,n}\end{pmatrix}}}$

et vectores X = ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...x_{n})}$ et B = ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{m})}$.^[3] Possumus ergo breviter scribere AX = B. Si m = n, solutio systematis aequationum est:

${\displaystyle X=A^{-1}B}$

ubi ${\displaystyle A^{-1}}$ significat matricem inversam matricis A.^[4] Si illa matrix inversa non exstat, systema aequationum habet vel nullam solutionem, vel numerum infinitum solutionum. Matrix inversa ${\displaystyle A^{-1}}$ est illa matrix quae satisfacit regulam ${\displaystyle A\times A^{-1}=I}$. I est matrix idemfactor, quae 1 habet in diagonale principali, 0 in omnibus aliis cellulis:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&...\\0&1&0&...\\0&0&1&...\\...\end{pmatrix}}}$

Lex Crameri dicit solutionem systematis (si exstat) esse

${\displaystyle x_{i,j}=(A_{1,j}b_{1}+A_{2,j}b_{2}+...+A_{n,j}b_{n})/|A|}$

ubi ${\displaystyle A_{i,j}}$ est cofactor elementi ${\displaystyle a_{i,j}}$ et ${\displaystyle |A|}$ est determinans matricis A.^[5]

Solutio invenitur etiam algorithmo illius Gauss per eliminationem.