Комплексна анализа

Комплексна анализа, традиционално позната како теорија на функции со комплексна променлива — гранка на математиката што ги проучува функциите на комплексните броеви. Комплексната анализа е многу корисна во многу гранки на математиката, вклучувајќи ја теоријата на броевите и применетата математика.^[1][2]

Графикон во боја на функцијата f(z) = (z² − 1)(z + 2 − i)² / (z² + 2 - 2i) .
Нијансите претставуваат аргументи, а осветленоста магнитуди.

Комплексната анализа посебно се сосредочува на аналитичките функции на комплексните променливи, кои обично се поделени во две главни класи: холоморфни функции и мероморфни функции. Бидејќи раздвојливите реални и имагинарни делови на која било аналитичка функција мора да ја задоволат Лапласовата равенка, комплексната анализа е широко применлива за дводимензионални проблеми во физиката.^[3][4][5]

Комплексни функции

Комплексна функција е функција во која и независно променлива и зависно променлива се комплексни броеви. Попрецизно, комплексна функција е функција која пресликува домен, што е подмножество од комплексната рамнина, исто така во подмножество од комплексната рамнина.

Кај секоја комплексна функција, и независно променливата и зависно променливата може да се поделат на реален и имагинарен дел:

${\displaystyle z=x+iy\,}$ и

${\displaystyle w=f(z)=u(z)+iv(z)\,}$

каде ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \,}$ и ${\displaystyle u(z),v(z)\,}$ се реални функции.

Со други зборови, компонентите на функцијата,

${\displaystyle u=u(x,y)\,}$ и

${\displaystyle v=v(x,y),\,}$

може да се толкуваат како реални функции на две променливи, x и y.

Основните поими на комплексната анализа често се воведуваат со проширување на елементарните реални функции (експоненти, логаритми и тригонометриски функции) во комплексниот домен.

Изводи и Коши-Римановите равенки

Како и во реалната анализа, мазната комплексна функција може да има извод во една точка од нејзиниот домен Ω. Всушност, дефиницијата за извод

${\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {dw}{dz}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\,}$

е аналогна на онаа во реалната анализа, со една многу важна разлика. Во реалната анализа, на лимесот може да му се пристапи само по еднодимензионална права. Во комплексната анализа, на лимесот може да му се пристапи од која било насока долж дводимензионалната комплексна рамнина.

Ако овој лимес, извод, постои во секоја точка од Ω, тогаш се вели дека функцијата е диференцијабилна на Ω. Може да се покаже дека секоја диференцијабилна функција е аналитичка. Ова е многу помоќен резултат отколку кај аналогната теорема што може да се докаже за реални функции. Во реалната анализа, можеме да конструираме функција која има прв извод на целиот домен, но чиј втор извод не постои во една или повеќе точки од доменот. Меѓутоа, во комплексната рамнина, ако функцијата е диференцијабилна во некоја околина, таа мора да биде бесконечно диференцијабилна во таа околина.^[6][7]

Со примена на методите на векторска анализа за пресметување на парцијалните изводи на две реални функции и во кои функцијата може да се разложи, и со разгледување на двете патеки што водат до точка од Ω, може да се покаже дека изводот постои ако и само ако:

${\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}.\,}$

Пресметувајќи ги реалните и имагинарните делови на овие два израза, ја добиваме традиционалната формулација на Коши-Римановите равенки:^[8][9]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$ или запишано на друг начин, ${\displaystyle u_{x}=v_{y}\qquad u_{y}=-v_{x}.\,}$

Со диференцирање на овој систем од две парцијални диференцијални равенки, прво во однос на x, а потоа во однос на y, лесно може да се покаже дека:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0\,}$ или запишано на друг начин, ${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=v_{xx}+v_{yy}=0.\,}$

Со други зборови, реалните и имагинарните делови од диференцијабилната функција од комплексна променлива се хармонични функции бидејќи ја задоволуваат Лапласовата равенка.

Холоморфни функции

Холоморфните функции се комплексни функции дефинирани на отворено подмножество од комплексната рамнина кои се диференцијабилни.^[10] Комплексната диференцијабилност има многу посилни последици од обичната (реална) диференцијабилност. На пример, холоморфните функции се бесконечно диференцијабилни, што не важи за реално диференцијабилните функции. Повеќето елементарни функции, вклучувајќи ја експоненцијалната функција, тригонометриските функции и сите полиномни функции, се холоморфни.^[11]