အစက်ချမြှောက်လဒ်

သင်္ချာတွင်၊ ဗှတ္တာ ၂ခု၏ ထပ်ခြင်းပြ ကိန်းလုံး (အင်္ဂလိပ်: scalar product) သို့မဟုတ် အစက်ချမြှောက်လဒ် (အင်္ဂလိပ်: dot product) ဆိုသည်မှာ ၎င်းဗှတ္တာတို့၏ အစိတ်အပိုင်း(component) ကိန်းလုံးများကို ယူမြှောက်လျက်၊
သမားရိုးကျ ယူကလစ်ဒ်ရပ်ဝန်းသဘောနှင့် ဆိုလျှင်၊ ထိုဗှတ္တာ၂ခု၏ ဘက်လှည့်ပုံ(orientation)တို့ -

• အချင်းချင်း ထပ်တူကျနေလျှင် ကျသလောက် ပမာဏကြီးကာ
• အချင်းချင်း ထောင့်မှန်ကျနေလျှင် (အမှတ်ချအိမ်အတွင်း သီးသန့်စံတိုင်များအတိုင်း ဗှတ္တာတို့ သီးသီးခြားခြား ဘက်လှည့်မှု ရှိနေလျှင်) သုညထုတ်ပေးပြီး
• ဘက်လှည့်ချင်း ဆန့်ကျင်သလောက် အနုတ်ကိန်းနှင့် ထုတ်ပေးနေမည့်၊

Illustration showing how to find the angle between vectors using the dot product

မြှောက်လဒ် ဖြစ်၏။

သာဓကအားဖြင့်
${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$ ဟူသည့် ဗှတ္တာနှင့်
${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$ ဟူသည့် ဗှတ္တာ တို့က
ယခု အမှတ်ချအိမ်အတွင်း၌ ထောင့်သန့်အစိပ်ညီ (orthonormal) အလွှားစိပ် (basis) တို့ဖြင့် တွဲစပ်‌ပေါ်လွင်သည် ဖြစ်သော်၊
၎င်း ဗှတ္တာ၂ခု၏ ထပ်ခြင်းပြ ကိန်းလုံး (scalar product) သို့မဟုတ် အစက်ချမြှောက်လဒ် (dot product) ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ မှာ ဤသို့ ဖြစ်၏။^[၁]

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$

ဤတွင် ${\displaystyle \Sigma }$ သင်္ကေတမှာ ပေါင်းလဒ်သင်္ကေတ (summation) ဟု ခေါ်၍၊ ${\displaystyle n}$ နေရာ၌ ပါမည့် ကိန်းဂဏန်းမှာ တိုင်းကြောင်းအရေအတွက် ဖြစ်ပြီး ထို ${\displaystyle \Sigma }$ အရ ပေါင်းရမည့် ပေါင်းကိန်း အရေအတွက်မှာ ထို တိုင်းကြောင်းအရေအတွက် နှင်နှင်သာ ဖြစ်မည်။
အကယ်၍ စဉ်းစားကိုင်တွယ်နေသည့် ရပ်ဝန်း၏ သဘောသဘာဝအလျောက် သင်္ချာစကားဖြင့် စံအလွှားစိပ် တို့က ထောင့်သန့်အစိပ်ညီ မဖြစ်ခဲ့လျှင်၊ ဥပမာအားဖြင့် ထောင့်သန့် (orthogonal) သာ ဖြစ်လျက် အစိပ်ညီ (normal) မဖြစ်ခဲ့လျှင်လည်း၊ တွက်နည်းက ဤမျှ ရိုးစင်းတော့မည် မဟုတ်ဘဲ (0 နှင့် 1 တို့ချည်း မဟုတ်တော့သော) အတိုင်းဆတာအုံ၏ တာစကိန်းလုံးတို့ ပါဝင်လာပေဦးမည်။

သို့သော် ခပ်ရိုးစင်းစင်း သာဓကအားဖြင့် တိုင်းကြောင်း-၃ခုပါ (3-dimensional) သမားရိုးကျ ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း (Euclidean space)အတွင်း၌ ဤသို့ ဖြစ်မည်။ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n=3}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}$$ သို့မဟုတ် $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a^{x}b^{x}+a^{y}b^{y}+a^{z}b^{z}}$$

ထို့နောက် ${\displaystyle [1,3,-5]}$ နှင့်${\displaystyle [4,-2,-1]}$ ဟူသော ဗှတ္တာ၂ခု၏ အစက်ချမြှောက်လဒ်မှာ - $${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$ ဟု ဖြစ်ပေတော့မည်။

${\displaystyle [1,3,-5]}$ ကို ${\displaystyle [1,3,-5]}$ နှင့် အစက်ချမြှောက်လဒ် ပြန်ပြုကြည့်လျှင် ၎င်း၏ ကိုယ်ပြန်မြှောက်လဒ် (inner product) အဖြစ် - $${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}}$$ ထွက်ပေါ်ရရှိမည်။