Loading AI tools
algebra Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de algebra, een deelgebied van de wiskunde, heet een element van een unitaire ring , d.w.z. een (niet noodzakelijk commutatieve) ring met een neutraal element 1 voor de vermenigvuldiging, een eenheid in , als een invers element voor de vermenigvuldiging heeft. Eenvoudig geformuleerd: een eenheid is een deler van 1.
De term moet niet verward worden met de term eenheid zoals die soms gebruikt wordt om het eenheidselement 1 van de ring aan te duiden, in een uitdrukkingen als 'ring met eenheid'. Om deze reden noemen sommige auteurs het element 1 de 'identiteit'.
In een ring met een multiplicatieve identiteit heet een element een eenheid als het multiplicatieve inverse heeft in de ring, dus waarvoor geldt:
De verzameling eenheden van de ring vormt een groep, de eenhedengroep, onder de vermenigvuldiging van de ring.
In de ring van gehele getallen zijn en de enige eenheden.
In een getallenlichaam kunnen over het algemeen meer eenheden voorkomen. Zo is in de ring , die ontstaat door het kwadratisch geheel getal aan toe te voegen:
dus zijn en eenheden. (In feite is de eenheidsgroep van deze ring oneindig. Aangezien toenemende machten van steeds groter worden en ook eenheden zijn, is de groep duidelijk niet-cyclisch.)
In feite beschrijft de eenheidsstelling van Dirichlet precies de structuur van : de groep is isomorf met een groep in de vorm van een directe som
waarbij de eindige, cyclische groep van eenheidswortels is in , en de rang van de eenhedengroep is, waarbij respectievelijk het aantal echte inbeddingen en het aantal paren complexe inbeddingen van zijn.
Hiermee wordt het bovenstaande voorbeeld verbeterd: de eenhedengroep van een reëel kwadratisch lichaam/veld is oneindig van rang 1, aangezien .
In de ring van gehele getallen modulo zijn de eenheden de congruentieklassen modulo gerepresenteerd door gehele getallen die copriem zijn met . Ze vormen de multiplicatieve groep van gehele getallen modulo .
Voor een commutatieve ring zijn de eenheden van de polynoomring precies die polynomen
waarvan een eenheid is in , en de resterende coëfficiënten nilpotente elementen zijn, d.w.z. voldoen voor een of andere . [1] In het bijzonder, als een integriteitsdomein is (heeft geen nuldelers), komen de eenheden van overeen met die van .
De eenheden van de ring van formele machteeksen zijn precies die machtreeksen
waarvoor een eenheid is in . [2]
De eenhedengroep van de ring van -matrices over een ring is de groep van inverteerbare matrices. Voor een commutatieve ring is een element van dan en slechts dan inverteerbaar, als de determinant van inverteerbaar is in . In dat geval wordt expliciet gegeven door de regel van Cramer.
Als in een ring voor en het element inverteerbaar is, dan is ook inverteerbaar met inverse .[3] De uitdrukking voor de inverse kan begrepen worden, maar niet bewezen, door de volgende berekening in een niet-abelse ring van machtreeksen:
De eenheden van een ring vormen een groep onder vermenigvuldiging, de eenhedengroep van . Andere veel voorkomende notaties voor zijn , en .
Een commutatieve ring is een lokale ring als een maximaal ideaal is. Het blijkt dat als een ideaal is, dan is het noodzakelijkerwijs een maximaal ideaal en is lokaal van , aangezien een maximaal ideaal onsamenhangend is. Als een eindig lichaam/veld is, dan is een cyclische groep van de orde .
De formulering van de groep eenheden definieert een functor van de categorie van ringen naar de categorie van groepen: elk ringhomomorfisme induceert een groepshomomorfisme , aangezien eenheden toewijst aan eenheden.
De elementen en van een commutatieve ring heten geassocieerd als er een eenheid bestaat waarvoor , genoteerd als . In elke ring zijn paren van tegengestelde elementen en geassocieerd. (De elementen en zijn niet noodzakelijkerwijs verschillend. In de ring van gehele getallen modulo 6 bijvoorbeeld is , hoewel . Zo zijn 6 en −6 geassocieerd in . Over het algemeen is een equivalentierelatie op .
Geassocieerdheid kan ook worden beschreven in termen van de groepswerking van op via vermenigvuldiging: Twee elementen van zijn geassocieerd als ze zich in dezelfde -baan bevinden. In een integriteitsdomein heeft de verzameling van geassocieerden van een gegeven niet-nul element dezelfde kardinaliteit als .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.