Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de groepentheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een factorgroep of quotiëntgroep een groep die uit een gegeven groep en een normaaldeler van die groep wordt geconstrueerd en die uit de nevenklassen van de normaaldeler bestaat.
Als een normaaldeler is van een groep , wat inhoudt dat de linkernevenklassen van in samenvallen met rechternevenklassen van , dan vormen nevenklassen een groep, de factorgroep of quotiëntgroep van en . De groepsbewerking in wordt gedefinieerd door het product van twee nevenklassen en op te vatten als de nevenklasse van het product van en :
Dit is pas een geldige definitie, als ze onafhankelijk is van de gekozen vertegenwoordiger van de nevenklassen. Dus als en , moet . Omdat en volgt:
Maar dan ook omdat normaaldeler is:
en
dus
zodat
Deze welgedefinieerde bewerking op nevenklassen voldoet aan de groepsaxioma's.
Zij de optelgroep van de gehele getallen en de ondergroep van de -vouden, . Dan vormen de restklassen , dus onder rekenen modulo n, een cyclische groep met elementen.
Iedere groep is een normaaldeler van zichzelf en de factorgroep daarbij is de triviale groep met 1 element. De triviale ondergroep met alleen het neutrale element is altijd een normaaldeler. De factorgroep is isomorf met de oorspronkelijke groep.
De groep van omkeerbare n×n-matrices met elementen in een lichaam heeft als normaaldeler de speciale lineaire groep van matrices met determinant 1. De factorgroep is isomorf met de vermenigvuldigingsgroep , de inverteerbare elementen van .
In een isometriegroep van een euclidische ruimte met niet alleen directe isometrieën is de ondergroep van directe isometrieën een normaaldeler met een factorgroep van twee elementen, de directe isometrieën en de indirecte isometrieën.
In het algemeen is de kern van een homomorfisme van groepen steeds een normaaldeler van het domein. De bijhorende factorgroep blijkt isomorf te zijn met het beeld van het homomorfisme. Omgekeerd is de afbeelding die ieder element van een groep op de nevenklasse ervan ten opzichte van de normaaldeler afbeeldt, een surjectief groepshomomorfisme van naar . De kern van dit homomorfisme is .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.