Loading AI tools
getaltheorie Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de getaltheorie is de indicator of totiënt van een positief natuurlijk getal , genoteerd als , het aantal positieve natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan die onderling ondeelbaar zijn met . Zo is bijvoorbeeld , omdat van elk van de vier oneven getallen 1, 3, 5 en 7 de grootste gemene deler met 8 gelijk is aan 1, en die vier getallen daarom onderling ondeelbaar met 8 zijn. De indicator wordt veelal in verband gebracht met de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die deze functie uitgebreid bestudeerde.
De indicator of totiënt van een natuurlijk getal is het aantal positieve natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan die relatief priem zijn met .
Voor een priemgetal is , omdat alle gehele getallen geen deler met gemeen hebben. Zo is . Alle overige priemgetallen zijn oneven, zodat een even getal is.
Voor het getal 12 geldt dat 1, 5, 7 en 11 geen gemene deler met 12 hebben. Dus is .
Uit de definitie volgt dat en als een priemgetal is. Voor een natuurlijke exponent geldt dat de getallen tussen 1 en die een priemfactor (noodzakelijk ) gemeen hebben met precies de veelvouden zijn van Het aantal van die veelvouden is zodat
Omdat een multiplicatieve functie is kan de waarde van berekend worden met de hoofdstelling van de rekenkunde. Als
waarin de verschillende priemgetallen zijn, dan is
Deze laatste formule is een euler-product en wordt meestal geschreven als
met het product over alle priemgetallen die deler zijn van .
Een dirichlet-reeks met is
Een lambert-rij voortbrengende functie is
geldig voor alle .
De groei van als een functie van is een interessante vraag, omdat de eerste indruk dat bij een kleine veel kleiner is dan ietwat misleidend is. Asymptotisch geldt dat bij iedere een bestaat, zodanig dat voor geldt:
Er geldt:
dus het product over de priemgetallen die delen. Uit de priemgetalstelling kan aangetoond worden dat voor constante dit vervangen kan worden door
Dit is ook waar in het gemiddelde:
waarin de grote O een landau-symbool is.
n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 11 | 10 | 21 | 12 | 31 | 30 | 41 | 40 | 51 | 32 | 61 | 60 | 71 | 70 | |||||||
2 | 1 | 12 | 4 | 22 | 10 | 32 | 16 | 42 | 12 | 52 | 24 | 62 | 30 | 72 | 24 | |||||||
3 | 2 | 13 | 12 | 23 | 22 | 33 | 20 | 43 | 42 | 53 | 52 | 63 | 36 | 73 | 72 | |||||||
4 | 2 | 14 | 6 | 24 | 8 | 34 | 16 | 44 | 20 | 54 | 18 | 64 | 32 | 74 | 36 | |||||||
5 | 4 | 15 | 8 | 25 | 20 | 35 | 24 | 45 | 24 | 55 | 40 | 65 | 48 | 75 | 40 | |||||||
6 | 2 | 16 | 8 | 26 | 12 | 36 | 12 | 46 | 22 | 56 | 24 | 66 | 20 | 76 | 36 | |||||||
7 | 6 | 17 | 16 | 27 | 18 | 37 | 36 | 47 | 46 | 57 | 36 | 67 | 66 | 77 | 60 | |||||||
8 | 4 | 18 | 6 | 28 | 12 | 38 | 18 | 48 | 16 | 58 | 28 | 68 | 32 | 78 | 24 | |||||||
9 | 6 | 19 | 18 | 29 | 28 | 39 | 24 | 49 | 42 | 59 | 58 | 69 | 44 | 79 | 78 | |||||||
10 | 4 | 20 | 8 | 30 | 8 | 40 | 16 | 50 | 20 | 60 | 16 | 70 | 24 | 80 | 32 |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.