E i matematikk

${\displaystyle e}$ er ein matematisk konstant og eit unikt reelt tal definert slik at arealet over ${\displaystyle x}$-aksen og under kurva ${\displaystyle y=1/x}$ for ${\displaystyle 1\leq x\leq e}$ er nøyaktig lik 1. Det viser seg at arealet for ${\displaystyle 1\leq x\leq e^{t}}$ er ${\displaystyle t}$. Altså har funksjonen ${\displaystyle e^{x}}$ same verdi som hellinga til tangentlinja for alle verdiar av ${\displaystyle x}$.^[1] Meir generelt kan ein seie at berre funksjonar lik sin eigen derivert er på forma ${\displaystyle Ce^{x}}$, kor ${\displaystyle C}$ er ein konstant.^[2] Funksjonen ${\displaystyle e^{x}}$ definert slik vert kalla eksponentialfunksjonen og er den inverse til den naturlege logaritmen, eller logaritmen til grunntalet ${\displaystyle e}$. Talet ${\displaystyle e}$ er ofte definert som grunntalet til den naturlege logartimen (i dette tilfellet vert logartimen definert ved hjelp av eit integral), som grensa til ei viss følgje, eller som summen av visse rekkjer.

${\displaystyle e}$ er det unike talet ${\displaystyle a}$, slik at verdiar av den deriverte (hellinga til tangentlinja) til eksponentialfunksjonen ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$ (blå kurve) i punktet ${\displaystyle x=0}$ er nøyaktig lik 1. Til samanlikning er funksjonen ${\displaystyle 2^{x}}$ (prikkete kurve) og ${\displaystyle 4^{x}}$ (streka kurve) vist; dei er ikkje tangente til linja 1 (raud).

Området under grafen ${\displaystyle y=1/x}$ er lik 1 over intervallet ${\displaystyle 1\leq x\leq e}$

Talet ${\displaystyle e}$ er eit av dei viktigaste tala i matematikken,^[3] i lag med dei additive og multiplikative identitetane 0 og 1, konstanten π og den imaginære einingane ${\displaystyle i}$. Desse fem konstantane utgjer Euleridentiteten.

Talet ${\displaystyle e}$ vert stundom kalla eulertalet etter den sveitsiske matematikaren Leonhard Euler. (${\displaystyle e}$ må ikkje forvekslast med ${\displaystyle \gamma }$—Euler–Mascheroni-konstanten, som stundom vert berre vert kalla Eulerkonstanten.)

Talet ${\displaystyle e}$ er irrasjonalt; det er ikkje eit forhold mellom heiltal, og heller ikkje transcendentalt eller rota av eit polynom med heiltal som koeffisientar. Den numeriske verdien til ${\displaystyle e}$ med tjue desimalar er

${\displaystyle 2,71828182845904523536\ldots }$

Historie

Konstanten vart først nemnd i skriftlege kjelder i 1618 i ein tabell i tilleggsnotatet til eit verk om logaritmar av John Napier.^[4] Verket inneheldt ikkje sjølve konstanten, men berre ei liste over naturlege logaritmar som vart rekna ut frå konstanten. Ein reknar med at tabellen vart skriven av William Oughtred. «Oppdaginga» av sjølve konstanten er tilskriven Jacob Bernoulli, som prøvde å finne verdien av uttrykket (som i røynda er ${\displaystyle e}$):

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Første gongen konstanten vart brukt, då som bokstaven ${\displaystyle b}$, var i brev frå Gottfried Leibniz til Christiaan Huygens i 1690 og 1691. Leonhard Euler starta å nytte bokstaven ${\displaystyle e}$ for konstanten i 1727, og den første publikasjonen med ${\displaystyle e}$ var Euler sin eigen Mechanica (1736). Dei neste åra nytta enkelte forskarar bokstaven ${\displaystyle c}$, men etter kvart vart ${\displaystyle e}$ meir vanleg og til slutt standarden.

Den eksakte årsaka til at ein nytta bokstaven ${\displaystyle e}$ er ikkje kjend, men det kan ha vore fordi det er første bokstaven i ordet eksponential. Ei anna mogeleg årsak er at Euler nytta ${\displaystyle e}$ fordi det var den første vokalen etter ${\displaystyle a}$ som han alt nytta for eit anna tal.

Definisjonar

Talet ${\displaystyle e}$ kan representerast på mange forskjellige måtar, som ei uendeleg rekkje, eit uendeleg produkt, ein kjedebrøk eller som grenseverdien til ei rekkje.

Grenseverdi

Som ein grenseverdi vert ${\displaystyle e}$ definert

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$.

Dette er den vanlegaste måten å representere konstanten på.

Uendeleg rekke

Ein kan òg definere ${\displaystyle e}$ som summen av følgjande uendelege rekkjer

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }$

der ${\displaystyle n!}$ er fakultetet av ${\displaystyle n}$.

Løysinga av integrallikning

${\displaystyle e}$ kan òg definerast som det unike talet ${\displaystyle x>0}$ slik at

${\displaystyle \ln {x}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}}$.

Desse forskjellige definisjonane har vorte bevist å vere ekvivalente.

Kjedebrøk

Ein ikkje så vanleg måte å representere ${\displaystyle e}$ på er som kjedebrøken

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{{\mathbf {2} }+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{{\mathbf {4} }+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}$

som kan skildrast på den meir kompakte forma:

${\displaystyle e=[[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,\ldots ,1,{\textbf {2n}},1,\ldots ]].\,}$

Uendeleg produkt

Denne måten å representere ${\displaystyle e}$ på inkluderer Pippengerproduktet

${\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots }$

og Guilleraproduktet

${\displaystyle e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}$

kor den ${\displaystyle n}$te faktoren er ${\displaystyle n}$te-rota av produktet

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$

Eigenskapar

${\displaystyle e}$ er grunntalet for den naturlege logaritmen:

${\displaystyle y=\ln {x}\leftrightarrow x=e^{y}}$.

Vidare er ${\displaystyle e}$ irrasjonalt, og transcendentalt ifølgje Lindermann-Weierstrass-teoremet. Dette vart først bevist av Charles Hermite i 1873.

Lenkje til komplekse tal

Med omsyn til Eulerformelen er

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x),\quad i={\sqrt {-1}}}$.

Spesialtilfellet kor ${\displaystyle x=\pi }$ er kjend som eulerlikskapen:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}$

Dei harmoniske funksjonane kan berre representerast ved eksponensialfunksjonar.

${\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\quad \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

Løysinga av differensiallikningar

Mange vekst- og nedbrytingsprosesser kan modellerast gjennom eksponentialfunksjonar. Eksponentialfunksjonen ${\displaystyle e^{x}}$ er viktig fordi det er den unike funksjonen som løyser differensiallikninga

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x)=f(x),\quad f(0)=1}$

${\displaystyle e^{x}}$ er lik sin egen deriverte. Den mest generelle funksjonen som er sin egen deriverte er ${\displaystyle Ce^{x}}$, kor ${\displaystyle C}$ er ein konstant.

Ein kuriositet

For ${\displaystyle x=e}$ oppnår ein maksimum for funksjonen

${\displaystyle f(x)=x^{1/x}}$

Meir generelt gjev verdien ${\displaystyle x=e^{1/n}}$ maksimum for funksjonen

${\displaystyle f(x)=x^{1/{x^{n}}}}$