Derivasjon

Derivasjon er en operasjon i matematikk der en bestemmer den deriverte av en funksjon. For en funksjon av én reell variabel ${\displaystyle f(x)}$ er den deriverte definert ved

${\displaystyle f\!\,'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$,

Områder i analyse

Differensialligninger

Funksjonalanalyse

Funksjoner av flere variable

Matematisk analyse

Kontinuitet Grenseverdier Følger Rekker Derivasjon Integrasjon

Komplekse funksjoner

dersom grenseverdien eksisterer. Den deriverte er et mål for endringen i funksjonsverdier ${\displaystyle f(x)}$ når den frie variabelen ${\displaystyle x}$ endres. Geometrisk er den deriverte et uttrykk for stigningstallet til tangenten til funksjonen.

For funksjoner av flere variable kan en definere ulike typer deriverte, som retningsderivert, partiellderivert og totalderivert.

Studiet av derivasjon og differensialer kalles differensialregning. Analysens fundamentalteorem sier at derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner, og en bruker derfor ofte betegnelsen differensial- og integralregning. Dette fagfeltet er svært viktig både for matematisk analyse og for anvendt matematikk.

En reell funksjon av én variabel er en funksjon ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$. Et enkelt eksempel er funksjonen som beskriver en rett linje. For en rett linje er stigningstallet lik den deriverte til funksjonen som beskriver linjen.

Stigningstallet for en rett linje

Stigningstalet til en rett linje: ${\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

En rett linje kan beskrives med funksjonen

${\displaystyle f(x)=ax+b}$.

Hvis koeffisienten ${\displaystyle b}$ er lik null, så er funksjonen lineær. Koeffisienten ${\displaystyle a}$ er stigningstallet som styrer vinkelen ${\displaystyle \theta }$ som linjen danner med ${\displaystyle x}$-aksen:

${\displaystyle \tan \theta =a}$.

Gitt to punkt ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ og ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, så finner en stigningstallet ved

${\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

Symbolet ${\displaystyle \Delta }$ brukes for å beskrive en endring i en størrelse, og ${\displaystyle \Delta x}$ og ${\displaystyle \Delta y}$ er samsvarende endringer:

${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$

Funksjonen som beskriver en rett linje, har derivert ${\displaystyle f'(x)=a}$.

Formell definisjon av den deriverte

En funksjon ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ som avbilder et åpent intervall ${\displaystyle U}$ av reell tall, er deriverbar i ${\displaystyle x_{0}\in U}$ hvis den følgende grenseverdien eksisterer:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$   (med ${\displaystyle h=\Delta x=x-x_{0}}$)

Grenseverdien kalles den deriverte til ${\displaystyle f}$ med hensyn på ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle x_{0}}$. Dersom grenseverdien ikke eksisterer, så er funksjonen ikke deriverbar i punktet. Hvis funksjonen er deriverbar i et hvert punkt i intervallet, sies funksjonen å være deriverbar i intervallet. Den deriverte definerer da en ny funksjon i intervallet, ofte skrevet som ${\displaystyle f'(x)}$ eller ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}}$:

${\displaystyle f'(x)={\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\qquad x\in U}$.

Ordet «differensierbar» brukes synonymnt med «deriverbar».

Det eksisterer mange ulike skriveformer for funksjonen som er resultat av derivasjonen, drøftet i det følgende avsnittet Notasjon.

En funksjon kan være deriverbar i hele ${\displaystyle \mathbb {R} }$, men kan også ha punkter der den ikke er deriverbar. Det eksisterer funksjoner som ikke er deriverbare i noe punkt, for eksempel funksjonen som beskriver Koch-kurven, navngitt etter Helge von Koch.

Eksempler

Den deriverte til funksjonen ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+2}$ i punktet ${\displaystyle x=x_{0}}$ kan finnes ved å forenkle differensekvotienten

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}&={\frac {{\bigl (}(x_{0}+h)^{2}-3(x_{0}+h)+2{\bigr )}-(x_{0}^{2}-3x_{0}+2)}{h}}\\&={\frac {x_{0}^{2}+2x_{0}h+h^{2}-3x_{0}-3h+2-x_{0}^{2}+3x_{0}-2}{h}}\\&={\frac {2x_{0}h+h^{2}-3h}{h}}\\&=2x_{0}+h-3.\end{aligned}}}$

Den deriverte finnes ved å ta grenseverdien når ${\displaystyle h\to 0}$:

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}(2x_{0}+h-3)=2x_{0}-3}$.

Vanligvis finnes den deriverte av en funksjon ved hjelp av regneregler for derivasjon og ikke ved bruk av definisjonen, slik som er gjort her. Regnereglene må imidlertid bevises ved hjelp av definisjonen for den deriverte.

Absoluttverdi-funksjonen er ikke deriverbar for ${\displaystyle x=0}$.

Et eksempel på en funksjon som ikke er deriverbar overalt, er gitt ved absoluttverdi-funksjonen:

${\displaystyle f(x)=|x|=\left\{{\begin{array}{rl}x,&{\text{hvis }}x\geq 0\\-x,&{\text{hvis }}x<0.\end{array}}\right.}$

For ${\displaystyle x\in (-\infty ,0)}$ er den deriverte lik -1, mens i intervallet ${\displaystyle (0,\infty )}$ er den deriverte lik 1. For ${\displaystyle x=0}$ eksisterer de to ensidige grenseverdiene, men da disse ikke er like, så er funksjonen ikke deriverbar for dette argumentet:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\lim _{x\nearrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}\ &=\ \lim _{x\nearrow 0}{\frac {-x-0}{x-0}}\ &&=\ -1\\[5pt]\lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}\ &=\ \lim _{x\searrow 0}{\frac {x-0}{x-0}}\ &&=\ 1\end{alignedat}}}$.

Et slik punkt hvor den deriverte eksisterer på begge sider, men hvor de ensidige grenseverdiene er ulike, kalles et knekkpunkt for grafen til funksjonen.

Høyere-ordens deriverte

Hvis den deriverte til funksjonen ${\displaystyle f}$ er deriverbar, kan man definere den andrederiverte eller dobbeltderiverte til ${\displaystyle f}$ som den deriverte til den førstederiverte. Denne nye funksjonen kan skrives som ${\displaystyle f''(x)}$. Tilsvarende kan man definere den tredje deriverte ${\displaystyle f'''(x)}$, og så videre.

Den n-te deriverte kalles også den deriverte av orden n.

Ved å bruke samme eksempel som tidligere, finner en

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(x)&=x^{2}-3x+2\\f'(x)&=2x-3\\f''(x)&=2\\f'''(x)&=0\end{alignedat}}}$

Geometrisk tolkning

Sekant og tangent til en funksjonsgraf

Verdien av den deriverte i et punkt generaliserer stigningskoeffisienten for en rett linje. For en vilkårlig deriverbar funksjon vil verdien av den deriverte være lik stigningskoeffisienten til tangenten til funksjonsgrafen i punktet.

For å definere tangenten starter en med en sekant gjennom to punkt på funksjonsgrafen, ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ og ${\displaystyle (x_{0}+h,f(x_{0}+h))}$. Ved å la ${\displaystyle h}$ gå mot null, som i grenseverdien som definerer den deriverte, vil sekanten nærme seg tangenten som grense.

Ligningen for tangenten i punktet ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ er

${\displaystyle y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})}$

Den andrederiverte er et mål for krumningen til grafen i et punkt. En rett linje har ingen krumning, og funksjonen har en andrederivert lik null.

Generelt har grafen til en vilkårlig funksjon en krumning ${\displaystyle \kappa }$ gitt ved det følgende uttrykket:^[1]

${\displaystyle \kappa ={f'' \over (1+f'^{2})^{3/2}}}$

Aritmetisk tolkning

Den deriverte til en funksjon ${\displaystyle f}$ i punktet ${\displaystyle x_{0}}$ beskriver den lokale oppførselen til funksjonen i en omegnen om ${\displaystyle x_{0}}$. Fra definisjonen av den deriverte følger det at

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+r(x,h)}$

Leddet ${\displaystyle r(x_{0},h)}$ er en funksjon av både ${\displaystyle x_{0}}$ og ${\displaystyle h}$, og leddet må gå mot null når ${\displaystyle h}$ går mot null. For en liten verdi av ${\displaystyle h}$ kan en derfor bruke tilnærmingen

${\displaystyle f(x_{0}+h)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})h}$

Den deriverte er et mål på den lineære andelen av endringen i ${\displaystyle f(x)}$, når ${\displaystyle x}$ endres med et vilkårlig lite tall. En slik vilkårlig liten endring kalles en infinitesimal endring. Når tilnærmingen brukes for en endelig verdi av ${\displaystyle h}$, omtales tilnærmingen som en linearisering av funksjonen.

Antideriverte

Antiderivasjon er prosessen for å finne en antideriverte funksjon, også kalt en primitiv funksjon. En funksjon ${\displaystyle F(x)}$ er en primitiv funksjon til ${\displaystyle f(x)}$ dersom funksjonen ${\displaystyle f}$ er dens deriverte, det vil si dersom ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$.

Det eksisterer flere forskjellige skriveformer for deriverte, brukt både gjennom historisk tid og i dag.

Leibniz' notasion

Symbolene ${\displaystyle dx}$, ${\displaystyle dy}$ og ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ ble introdusert av Gottfried Leibniz i 1675.^[2] Denne skrivemåten er fremdeles vanlig brukt når en ønsker å understreke funksjonssammenhengen ${\displaystyle y=f(x)}$. Den første-ordens deriverte skrives som en infinitesimal brøk

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ eller }}{\frac {d}{dx}}f}$.

Høyere-ordens deriverte av orden n uttrykkes på formen

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}{\text{ eller }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f}$

Den deriverte for et gitt argument ${\displaystyle x=x_{0}}$ kan med denne notasjonen skrives som

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=x_{0}}={\frac {dy}{dx}}(x_{0}).}$

Lagranges notasjon

En svært vanlig form for symbol for den deriverte stammer fra Joseph Louis Lagrange og bruker et primtegn sammen med symbolet for funksjonen. Notasjonen ble første gang brukt i verket Theorie des fonctions analytiques i 1797.^[3] Den deriverte av funksjonen ${\displaystyle f}$ symboliseres med${\displaystyle f'}$. Høyere-ordens deriverte kan skrives ved å gjenta primtegnet, slik at den andre-deriverte er ${\displaystyle f''}$. For deriverte av orden høyere enn tre, kan en sette ordenstallet med opphøyd skrift, enten med romertall eller med vanlige tallsymbol:

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}$   eller   ${\displaystyle f^{(4)}.}$

Lagranges notasjon er mer praktisk enn Leibniz' når en vil understreke at den deriverte er en selvstendig funksjon.

Newtons notasjon

Newtons notasjon for å symbolisere tidsderiverte går tilbake til 1665.^[4] Bruk av denne notasjonen finnes vanlig både i fysikk og matematikk. For en funksjon der argumentet representerer tid, kan en prikk over funksjonen symbolisere derivasjon. Hvis ${\displaystyle y=f(t)}$, så representerer de følgende funksjonene den førstederiverte og den andrederiverte:

${\displaystyle {\dot {y}}\qquad \qquad {\ddot {y}}}$.

Prikk-notasjonen er også brukt i differensialgeometri for den deriverte med hensyn på buelengden.^[5]

Eulers notasjon

Leonhard Euler forsvarte i 1755 notasjonen ${\displaystyle df}$ for den deriverte funksjonen, men dette skapte en del forvirring jevnført med Leibniz' skrivemåte.^[6] I 1800 foreslo Louis François Antoine Arbogast i steden å bruke en stor bokstav ${\displaystyle D}$ for en differensialoperator som operert på funksjonen ${\displaystyle f}$ gir den første-deriverte ${\displaystyle Df}$.^[7] Den n-te deriverte skrives ${\displaystyle D^{n}f}$. For å presisere hva som er den uavhengige variabelen, så kan denne skrives med nedfelt skrift: Hvis funksjonen er ${\displaystyle y=f(x)}$, så skrives da den deriverte som

${\displaystyle D_{x}y}$   eller   ${\displaystyle D_{x}f(x)}$.

Den deriverte til en gitt funksjon regnes vanligvis ut ved å kombinere

• kjennskap til deriverte for et sett av elementære funksjoner; med
• et sett av derivasjonsregler for å behandle sammensatte funksjoner.

Derivasjon av elementære funksjoner

Konstante funksjoner

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a=0}$

Potensfunksjonen

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}.}$

Eksponential- og logaritmefunksjoner

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a),\qquad a>0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}},\qquad x,a>0}$

Trigonometriske funksjoner

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}$

Inverse trigonometriske funksjoner

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Derivasjonsregler

La ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ og ${\displaystyle h}$ være reelle, deriverbare funksjoner. La videre ${\displaystyle n}$ og ${\displaystyle a}$ være reelle tall. Da gjelder:

Faktorregelen

${\displaystyle (a\cdot f)'=a\cdot f'}$

Summeregelen

${\displaystyle \left(g\pm h\right)'=g'\pm h'}$

Produktregelen

${\displaystyle (g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'}$

Kvotientregelen eller brøkregelen

${\displaystyle \left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}}$

Kjerneregelen

${\displaystyle (g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)}$

Kombinert kjerne og produktregel

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f&=c\cdot k^{u}\cdot l^{v}\cdot m^{w}\cdot ...\\[5pt]f'&=f\cdot ({\frac {u}{k}}\cdot k'+{\frac {v}{l}}\cdot l'+{\frac {w}{m}}\cdot m'+...)\end{alignedat}}}$

Inverse funksjoner

Hvis ${\displaystyle f}$ er en bijektiv funksjon som er deriverbar i ${\displaystyle x_{0}}$ med ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$, og den inverse funksjonen ${\displaystyle f^{-1}}$ er deriverbar ved ${\displaystyle f(x_{0})}$, så gjelder:

${\displaystyle (f^{-1})'(f(x_{0}))={\frac {1}{f'(x_{0})}}.}$

Leibniz’ regel

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}$.

Her er ${\displaystyle {n \choose k}}$ binomialkoeffisienter.

Implisitt derivasjon

Hvis en funksjon ${\displaystyle y=y(x)}$ er definert implisitt ved en ligning

${\displaystyle F\left(x,y(x)\right)=0}$,

så følger det av den generaliserte kjerneregelen for funksjoner av flere variabler at

${\displaystyle F_{x}+F_{y}y'=0.}$

I denne ligningen er

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}F_{x}={\frac {\partial F}{\partial x}}\\F_{y}={\frac {\partial F}{\partial y}}\end{alignedat}}}$

partiell deriverte av funksjonen ${\displaystyle F}$. Forutsatt at den partiell deriverte ${\displaystyle F_{y}}$ er ulik null, så kan den deriverte av funksjonen ${\displaystyle y=y(x)}$ uttrykkes som en brøk:

${\displaystyle y'=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}}$

Eksempel

Gitt funksjonen

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$

Den deriverte er da gitt som følger:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$

Det første leddet er derivert ved å bruke regelen for en potensfunksjon. Det andre leddet er håndtert ved hjelp av kjerneregelen samt regler for derivasjon av trigonometriske funksjoner og potensfunksjoner. Derivasjon av det tredje leddet er gjennomført ved å bruke produktregelen.

Derivasjon og kontinuitet

En funksjon som er deriverbar for ${\displaystyle x=x_{0}}$, er også kontinuerlig i ${\displaystyle x=x_{0}}$. En funksjon kan altså ikke være deriverbar i en diskontinuitet.

Omvendt kan en funksjon være kontinuerlig i et punkt, uten å være deriverbar i punktet. Et eksempel på dette er punktet ${\displaystyle x=0}$ for absoluttverdi-funksjonen.

Dersom funksjonen har en derivert som også er kontinuerlig, sies funksjonen å være kontinuerlig deriverbar. Hvis den n-te ordens deriverte eksisterer og er kontinuerlig, så er funksjonen n ganger kontinuerlig deriverbar. Klassen av slike funksjoner er viktig nok til å ha fått sitt eget symbol:

${\displaystyle C^{n}(D)}$

betegner klassen av funksjoner som er n ganger kontinuerlig deriverbar på definisjonsmengden ${\displaystyle D}$. Klassen av kontinuerlige funksjoner er ${\displaystyle C^{0}}$. En funksjon som er uendelig mange ganger kontinuerlig deriverbar kalles en glatt funksjon, og klassen av slike funksjoner betegnes som ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Generelt gjelder at

${\displaystyle C^{n}\subset C^{n-1}\subset \dots \ C^{1}\subset C^{0}}$.

Middelverdisetningen

Middelverdisetningen uttrykker at sekanten mellom to punkt har en parallel tangent mellom de to punktene.

For en funksjon som er deriverbar i et intervall, vil stigningen til sekanten mellom to vilkårlige punkt på grafen til funksjonen være et uttrykk for den midlere endringen til funksjonen mellom de to punktene. Middelverdisetningen uttrykker at grafen til funksjonen mellom de to punktene må ha en tangent med samme stigning som sekanten. Setningen kalles også sekantsetningen:

La ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ være en funksjon som er kontinuerlig på et lukket intervall ${\displaystyle [a,b]}$ (med ${\displaystyle a<b}$). Anta videre at ${\displaystyle f}$ er deriverbar i det åpne intervallet ${\displaystyle (a,b)}$. Da finnes minst ett punkt ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$, slik at

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$.

Dersom ${\displaystyle f(a)=f(b)}$, medfører dette at funksjonen må ha en derivert mellom ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ som er lik null, det vil si at tangenten er horisontal. Dette spesialtilfellet av middelverdisetningen kalles Rolles sats.

Monotonisitet

En funksjon er monoton i et intervall dersom den er voksende eller minkende i hele intervallet. Tilsvarende sier en også at funksjonen er strengt monoton i et intervall dersom den er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet. Disse egenskapene følger direkte fra middelverdisetningen.

En deriverbar funksjon er voksende i et intervall dersom den deriverte av funksjonen er ikke-negativ i hele intervallet. Tilsvarende er funksjonen minkende i et intervall dersom den deriverte er ikke-positiv i intervallet.

En deriverbar funksjon er strengt voksende i et intervall dersom den deriverte av funksjonen er positiv i hele intervallet. Tilsvarende er funksjonen strengt minkende i et intervall dersom den deriverte er negativ i intervallet.

Ekstremalverdier og vendepunkt

Funksjonsgraf med ekstremalpunkt og vendepunkt

Dersom en funksjon er deriverbar i et punkt ${\displaystyle x=x_{0}}$, så er ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ et nødvendig vilkår for at funksjonen skal ha et ekstremalpunkt for dette argumentet. Et punkt der den deriverte er lik null kalles et stasjonært punkt.^[8] Sammen med punkt der funksjonen ikke er deriverbar og eventuelle endepunkt for et definisjonsintervall, kalles dette også kritiske punkt. Et ekstremalpunkt må alltid være et kritisk punkt.^[9] Et terassepunkt er et stasjonært punkt der den deriverte ikke skifter fortegn.^[10]

For et punkt ${\displaystyle x=x_{0}}$ der en funksjon er deriverbar vil hver av de to følgende testene gi tilstrekkelige vilkår for at punktet er et maksimumspunkt:

• ${\displaystyle x=x_{0}}$ er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ og den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ når ${\displaystyle x}$ vokser gjennom ${\displaystyle x_{0}}$.

• ${\displaystyle x=x_{0}}$ er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ og ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$.

Tilsvarende har en for et minimumspunkt:

• ${\displaystyle x=x_{0}}$ er et lokalt strengt minimumspunkt dersom ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ og den deriverte skifter fortegn fra negativ til positiv når ${\displaystyle x}$ vokser gjennom ${\displaystyle x_{0}}$.

• ${\displaystyle x=x_{0}}$ er et lokalt strengt minimumspunkt dersom ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ og ${\displaystyle f''(x_{0})>0}$.

Kartlegging av ekstremalpunkt inngår som en viktig del av funksjonsdrøfting.

Krumning og vendepunkt

En funksjon er konveks i et intervall dersom en rett linje mellom to vilkårlige punkt i intervallet ligger over grafen til funksjonen i intervallet. Dette kan også uttrykkes som at grafen til funksjonen vender den hule siden oppover eller krummer opp. Funksjonen er strengt konveks dersom grafen ligger helt under den rette linjen. Tilsvarende kan en definere at funksjonen er konkav, dersom den vender den hule siden nedover eller krummer ned.

En deriverbar funksjon er konveks eller krummer opp i et intervall dersom den deriverte er voksende i intervallet. En funksjon som er to ganger deriverbar, er strengt konveks i et intervall dersom den dobbelt-deriverte ${\displaystyle f''(x)}$ er positiv i intervallet. Den dobbelt-deriverte kan også være lik null i isolerte punkt i intervallet.

Funksjonen ${\displaystyle f(x)=x^{4}}$ har dobbelt-derivert ${\displaystyle f''(x)=12x^{2}}$. Funksjonen er altså strengt konveks i hele ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

I differensialgeometri er krumningen ${\displaystyle \kappa }$ til en funksjon gitt ved det følgende uttrykket:^[11]

${\displaystyle \kappa ={f'' \over (1+f'^{2})^{3/2}}}$

Et vendepunkt er et stasjonært punkt ${\displaystyle x_{0}}$ der funksjonen skifter krumning, fra opp til ned eller omvendt. Dette vil være tilfelle dersom den dobbelt-deriverte skifter fortegn i punktet.

Funksjonen ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ har dobbelt-derivert ${\displaystyle f''(x)=6x}$. Funksjonen har altså et vendepunkt i ${\displaystyle x=0}$.

Taylorrekker

Taylors teorem sier at en funksjon som er (${\displaystyle n+1}$) ganger kontinuerlig deriverbar på et intervall ${\displaystyle I}$, kan tilnærmes med et polynom i intervallet, og teoremet gir også et uttrykk for feilen i denne tilnærmingen. Dersom ${\displaystyle x=a}$ er et vilkårlig punkt i intervallet, så er

${\displaystyle f(x)=T_{n}(x;a)+R_{n+1}(x;a)\qquad \forall x\in I}$

Her er ${\displaystyle T_{n}}$ taylorpolynomet av grad ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x;a)&=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\right)\\&=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\dotsb +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}}$.

Restleddet ${\displaystyle R_{n+1}}$ kan uttrykkes på flere forskjellige måter, og Joseph Louis Lagranges form er gitt som^[12]

${\displaystyle R_{n+1}(x;a)={\frac {1}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(b)(x-a)^{n+1}\qquad }$.

Argumentet ${\displaystyle b}$ er en verdi mellom ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle a}$. Når ${\displaystyle n=1}$ svarer Taylors formel til middelverdisetningen.

I mange praktske anvendelser brukes tilnærmingen ${\displaystyle f(x)=T_{n}(x;a)}$, og restleddet er da et uttrykk for feilen i tilnærmingen. Feilen vil typisk vokse når ${\displaystyle x}$ fjerner seg fra verdien ${\displaystyle a}$.

For en glatt funksjon kan en i noen tilfeller vise at funksjonen kan uttrykkes som en uendelig konvergent taylorrekke:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+\dotsb +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\dotsb \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.\end{aligned}}}$

Denne sammenhengen gjelder imidlertid ikke for alle glatte funksjoner. En glatt funksjon som samsvarer lokalt med sin egen taylorrekke, kalles en analytisk funksjon.^[13]

Analysens fundamentalteorem

Analysens fundamentalteorem uttrykker en sammenheng mellom derivasjon og integrasjon.^[14]

Hvis ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ er en integrerbar funksjon, så er funksjonen

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\qquad x\in [a,b]}$

kontinuerlig i intervallet ${\displaystyle [a,b]}$. Hvis ${\displaystyle f}$ er deriverbar i ${\displaystyle x=x_{0}}$, så er også ${\displaystyle F}$ deriverbar i dette punktet, og ${\displaystyle F\,'(x_{0})=f(x_{0})}$.

Teoremet gir en bruksanvisning for kunne integrere en funksjon ${\displaystyle f}$, omtalt som integranden. Dersom den antideriverte til integranden kan bestemmes som ${\displays$