Gauss-integral

From Wikipedia, the free encyclopedia

Gauss-integral
Remove ads

Gauss-integralet gir arealet under Gauss-kurven y = ex2. I tillegg til å være av betydning i forskjellige deler av matematikken, har det mange anvendelser i sannsynlighetsregning, statistisk mekanikk, kvantemekanikk og kvantefeltteori. Integralet er definert som

Thumb
Grafisk fremstilling av Gauss-kurven i blått. Gauss-integralet gir størrelsen til arealet i rødt under kurven.

og gir opphav til mange andre, relaterte integraler. Dets navn er knyttet til Carl Friedrich Gauss selv om flere andre matematikere som Leonhard Euler, Pierre-Simon Laplace og Siméon Denis Poisson var kjent med det.

Remove ads

Beregning

Det er ikke mulig å beregne det gaussiske integralet I direkte fra de vanligste reglene for integrasjon. Men det lar seg gjøre fra det dobbelte integralet

som kan beregnes ved å innføre polarkoordinater x = rcosθ og y = rsinθ. Det gir

hvor verdien til den radielle integrasjonen følger fra eksponentialfunksjonen ved å innføre t = r2 som ny integrasjonsvariabel. Dermed har man verdien I0 = π av Gauss-integralet.

Remove ads

Relaterte integral

Ved et skifte av integrasjonsvariabel har Gauss-integralet på litt mer generell form verdien

Tar man her den deriverte av begge sider med hensyn på parameteren a, finner man at

Fortsatte derivasjoner gir verdien av mer kompliserte integral.

En videre generalisering av Gauss-integralet er

som fremkommer ved å skrive eksponenten som et fullstendig kvadrat,

og så skifte integrasjonsvariabel til y = x - b/2a.

Remove ads

Sammenheng med gammafunksjonen

Ved å bruke t = x2 som ny variabel i Gauss-integralet, tar det formen

Det er derfor ekvivalent med den spesielle verdien Γ(1/2) = π for gammafunksjonen.

Mer generelle Gauss-integral kan gjøres på samme måte ved bruk av gammafunksjonen. For eksempel,

igjen etter substitusjonen x t = x2 slik at dt = 2xdx. For n = 1 gir dette I2 = Γ(3/2) = Γ(1/2 + 1) = (1/2)Γ(1/2) = π/2 i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet.

Remove ads

Se også

Litteratur

Eksterne lenker

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads