NO
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Pi

Pi

matematisk konstant: Sirkelomkrets : sirkeldiameter ≈ 3,14159 26536 From Wikipedia, the free encyclopedia

Pi
HistorieBeregningBehovet for nøyaktighet av π {\displaystyle \pi } Algoritmer for beregning av π {\displaystyle \pi } Formler der π {\displaystyle \pi } opptrerGeometriAnalyseØvrig matematikkOmtrentlige verdier av π π {\displaystyle \pi } på avveierBruk (utvalg)FotnoterReferanserDiverseEksterne lenker
«Pi» har flere betydninger.

Den matematiske konstanten π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } (symbol: π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } (minuskel pi), gresk bokstav) er definert som forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel: Omkrets = π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } × diameter. Ofte brukes 3,14 eller brøken 22/7 som en rimelig tilnærming til π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } for hverdags bruk, for eksempel i skolen. Den nøyaktige verdien har uendelig mange ikke-sykliske desimaler, dermed er π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } et irrasjonalt tall eller mer spesifikt et transcendentalt tall.

Thumb
En sirkel med diameter lik 1 har en omkrets lik π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }.

Man bruker tallet π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }, som forklart over, når man skal regne omkrets og areal av sirkler eller ellipser. π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } brukes også når man skal finne volum- og overflateverdi av kjegler, sylindre og kuler. Også i trigonometrien er π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } en grunnleggende konstant.

En numerisk tilnærming til pi, er: π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } ≅ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679[1] (100 desimaler).

I 2022 ble π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } kalkulert til 100 billioner desimaler av Google, noe som tok i overkant av fem måneder.[2]

Pi-dagen markeres den 14. mars etter amerikansk datering m-dd: 3.14, eller internasjonal datering den tredje dagen i uke 14 (2023: 5. april).

Thumb
Minuskelen π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }.
Thumb
Arealet til sirkelen er lik π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } x r².

Historie

π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } har gjennom historien blitt beregnet på ulikt vis:

Babylonerneca. 2000 f. Kr.3,125
Egypterneca. 2000 f. Kr.3,160 45
Salomoca. 950 f. Kr.^ 3[3][4]
Arkimedesca. 250 f. Kr.3,141 8 (223/71 < π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } < 22/7)
Liu Xinca. 5 f. Kr.3,125 (25/8)
Zu Chongzhica. 480 e. Kr.3,141 592 920 (355/113)
Otho15733,141 592 9
Viete15933,141 592 653 6
Ludolph van Ceulenca. 16003,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 – 35 desimaler med lignende metoder som Arkimedes.
William Shanks1873Han brukte 707 desimalplasser, men han gjorde en feil ved den 528. desimalplassen slik at resten ble feil.
John von Neumann m.fl.19492037 desimaler, brukte den tidlige datamaskinen ENIAC, kjøringen tok 70 timer.
Guilloud og Bouyer19731 001 250 desimaler.
Kanada og Tamura19891 073 741 799 desimaler.
Yasumasa Kanada20041 241 100 000 000 desimaler ved hjelp av en PC.
Fabrice Bellard
Alexander Yee
Shigeru Kondo		2009
2013		2 699 999 990 000 desimaler.
12 100 000 000 050 desimaler.
Emma Haruka Iwao/Google201931 415 926 535 897 desimaler.

Den tysk-nederlandske matematikkprofessoren Ludolph van Ceulen brukte store deler av sitt liv på å kalkulere 35 desimaler. De ble inngravert på hans gravstein i Leiden i Nederland i 1610.

I 1761 beviste Johann Heinrich Lambert at π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } er irrasjonalt tall. Transcendensen til tallet ble bevist i 1882 av Ferdinand von Lindemann.

Beregning

Behovet for nøyaktighet av π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }

Siden π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } er et irrasjonalt tall er det ikke grenser for hvor nøyaktig man kan beregne π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }, men er det egentlig nødvendig? – NASA bruker i sine baneberegninger for interplanetære reiser 16 signifikante sifre.[5] Det viser seg at 39 signifikante siffer er tilstrekkelig til å beregne de fleste kosmologiske konstanter, siden du da kan beregne omkretsen av universet med en nøyaktighet på ett atom.[6] Hvis man tar hensyn til avrundingsfeil vil noen få hundre siffer være nok til alle tenkelige vitenskapelige formål.[7][8][9] π er nok er matematikkens mest kjente konstant som historisk har vært vanskelig å beregne med høy presisjon, men det har også visse praktiske fordeler, slik som at beregningsalgoritmer for π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } brukes til å teste superdatamaskiner, testing av numeriske algoritmer og i ren matematikk der man trenger data for å evaluere forutsigbarheten i π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }.[10]

Algoritmer for beregning av π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }

Det finnes flere måter å beregne en tilnærming til konstanten. En metode som ikke konvergerer særlig raskt (trenger 152 trinn før det beregnede tallet kan avrundes til 3,14) og som ofte blir kalt Leibniz' formel er

π 4 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k + 1 = 1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ {\displaystyle {\pi \over 4}=\sum _{k=0}^{\infty }{{(-1)^{k}} \over {2k+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots } {\displaystyle {\pi \over 4}=\sum _{k=0}^{\infty }{{(-1)^{k}} \over {2k+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots }

eller som en tilnærming

π ≈ 3 , 141   592   653   589   793   238   462   643   383   279   502   884   197   169   399   375   105   820   974   944   592   307   816   406 {\displaystyle \pi \approx 3,141\ 592\ 653\ 589\ 793\ 238\ 462\ 643\ 383\ 279\ 502\ 884\ 197\ 169\ 399\ 375\ 105\ 820\ 974\ 944\ 592\ 307\ 816\ 406} {\displaystyle \pi \approx 3,141\ 592\ 653\ 589\ 793\ 238\ 462\ 643\ 383\ 279\ 502\ 884\ 197\ 169\ 399\ 375\ 105\ 820\ 974\ 944\ 592\ 307\ 816\ 406}

I det ovenstående er π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } angitt til 72 desimaler.

I begynnelsen av 1900-tallet fant den unge matematikeren Srinivasa Aiyangar Ramanujan fra India mange nye formler for π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }. Noen var forbløffende korte og elegante, dype og raskt konvergerende etter få trinn.[11] Spesielt denne er berømt:

1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!} {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!}

Der k ! {\displaystyle k!} {\displaystyle k!} er fakultet av k {\displaystyle k} {\displaystyle k}; dvs. 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} {\displaystyle 0!=1}, 1 ! = 1 {\displaystyle 1!=1} {\displaystyle 1!=1}, 2 ! = 2 × 1 {\displaystyle 2!=2\times 1} {\displaystyle 2!=2\times 1}, 3 ! = 3 × 2 × 1 {\displaystyle 3!=3\times 2\times 1} {\displaystyle 3!=3\times 2\times 1}, 4 ! = 4 × 3 × 2 × 1 {\displaystyle 4!=4\times 3\times 2\times 1} {\displaystyle 4!=4\times 3\times 2\times 1}, osv.

Første iterasjon med k = 0 {\displaystyle k=0} {\displaystyle k=0} gir 6 desimalers nøyaktighet, andre gir 14 desimaler, tredje gir 22 desimaler …

Et annet eksempel på en formel for π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } som ikke konvergerer særlig raskt er denne:

π = lim m → ∞ ∑ k = 0 m − 1 8 k m − k 2 m 2 {\displaystyle \pi =\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {8{\sqrt {km-k^{2}}}}{m^{2}}}} {\displaystyle \pi =\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {8{\sqrt {km-k^{2}}}}{m^{2}}}}

Formler der π {\displaystyle \pi } opptrer

Geometri

π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } forekommer i mange geometriske formler for sirkler, sfærer og andre runde objekter.

More information ...
Geometrisk form Formel
Thumb Omkretsen av en sirkel med radius r {\displaystyle r} {\displaystyle r} og diameter d {\displaystyle d} {\displaystyle d} O = π d = 2 π r {\displaystyle O=\pi d=2\pi r\,\!} {\displaystyle O=\pi d=2\pi r\,\!}
Arealet av en sirkel med radien r {\displaystyle r} {\displaystyle r} A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}\,\!} {\displaystyle A=\pi r^{2}\,\!}
Thumb Arealet av en ellipse med halvaksene a {\displaystyle a} {\displaystyle a} og b {\displaystyle b} {\displaystyle b} A = π a b {\displaystyle A=\pi ab\,\!} {\displaystyle A=\pi ab\,\!}
Thumb Volumet av en sfære (kule) med radius r {\displaystyle r} {\displaystyle r} og diameter d {\displaystyle d} {\displaystyle d} V = 4 3 π r 3 = 1 6 π d 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{6}}\pi d^{3}\,\!} {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{6}}\pi d^{3}\,\!}
Overflatearealet av en sfære med radius r {\displaystyle r} {\displaystyle r} A = 4 π r 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}\,\!} {\displaystyle A=4\pi r^{2}\,\!}
Sylinder
Sylinder
 Volumet av en sylinder med høyde h {\displaystyle h} {\displaystyle h} og radius r {\displaystyle r} {\displaystyle r} V = π r 2 h {\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\!} {\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\!}
Overflatearealet av en sylinder med høyde h {\displaystyle h} {\displaystyle h} og radius r {\displaystyle r} {\displaystyle r} A = 2 ( π r 2 ) + ( 2 π r ) h = 2 π r ( r + h ) {\displaystyle A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!} {\displaystyle A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!}
Thumb Volumet av en kjegle med høyde h {\displaystyle h} {\displaystyle h} og radius r {\displaystyle r} {\displaystyle r} V = 1 3 π r 2 h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!} {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!}
Overflatearealet av en kjegle med høyde h {\displaystyle h} {\displaystyle h} og radius r {\displaystyle r} {\displaystyle r} A = π r r 2 + h 2 + π r 2 = π r ( r + r 2 + h 2 ) {\displaystyle A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!} {\displaystyle A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!}
Close

Analyse

Tallet π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } er tett forbundet med de komplekse tallene, noe som følger av de trigonometriske funksjonenes forekomst i Eulers formel for den komplekse eksponentialfunksjonen,

e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ . {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .\,} {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .\,}

Et spesialtilfelle er Eulers likhet,

e i π + 1 = 0 , {\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,} {\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,}

som ble kalt "den merkeligste formelen innen matematikken" av Richard Feynman fordi den knytter sammen fem av de viktigste tallene: 0 {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}, 1 {\displaystyle 1} {\displaystyle 1}, e {\displaystyle e} {\displaystyle e} som er basisen for de naturlige logaritmene, den imaginære enheten i {\displaystyle i} {\displaystyle i} som de komplekse tallene defineres ut fra og π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }. Videre følger for eksempel av residysatsen for kurveintegraler at

∮ d z z = 2 π i . {\displaystyle \oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i.} {\displaystyle \oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i.}

Arealet av en kvart enhetssirkel gis ved:

∫ 0 1 1 − x 2 d x = π 4 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\pi \over 4}} {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\pi \over 4}}

Øvrig matematikk

  • En integralformel, (se normalfordeling):
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
  • Baselproblemet, først løst av Euler (se også Riemanns zeta-funksjon):
ζ ( 2 ) = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}} {\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
ζ ( 4 ) = 1 1 4 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + ⋯ = π 4 90 {\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}} {\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
Generelt er ζ ( 2 n ) {\displaystyle \zeta (2n)} {\displaystyle \zeta (2n)} et rasjonelt multiplum av π 2 n {\displaystyle \pi ^{2n}} {\displaystyle \pi ^{2n}} for det positive heltallet n {\displaystyle n} {\displaystyle n}.
  • Gammafunksjonen utregnet ved ½:
Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}} {\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}}
  • Stirlings formel:
n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
  • Egenskapen av Eulers phi-funksjon (se også Fareysekvens):
∑ k = 1 n ϕ ( k ) ∼ 3 n 2 / π 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}} {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}}

Omtrentlige verdier av π

  • 22 / 7 = 3,142 85714285714... {\displaystyle 22/7=3{,}14285714285714...} {\displaystyle 22/7=3{,}14285714285714...} 2 desimalers nøyaktighet, er en av de Diofantiske approksimasjoner
  • 355 / 113 = 3,141 59292035398... {\displaystyle 355/113=3{,}14159292035398...} {\displaystyle 355/113=3{,}14159292035398...} 6 desimalers nøyaktighet, funnet av en den kinesiske matematiker og astronom Zu Chongzhi rundt år 450 e.kr. Det tok ca 1000 år å finne den neste rasjonelle approksimasjonen med flere desimaler 86953 / 27678 {\displaystyle 86953/27678} {\displaystyle 86953/27678}.
  • 2143 / 22 4 = 3,141 5926525... {\displaystyle {\sqrt[{4}]{2143/22}}=3{,}1415926525...} {\displaystyle {\sqrt[{4}]{2143/22}}=3{,}1415926525...} 8 desimalers nøyaktighet, en av mange approksimasjoner funnet av Srinivasa Ramanujan

π {\displaystyle \pi } på avveier

I 1897 var kongressen i delstaten Indiana, i USA, i ferd med å vedta en lov som bl.a. kunne tolkes som en avrunding av π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } til 3,2 i stedet for 3,14.[12] Kongressen ble dog stoppet av en professor som tilfeldigvis var til stede før det endelige vedtaket.[12]

Nordmannen Andreas Dahl Uthaug utga i 1916 en bok om et eget norsk π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }, som var nøyaktig 3,125.[13]

Bruk (utvalg)

  • utregning av størrelsen på fallskjermen som er nødvendig til å lande en rover på Mars[14]
  • utregning av hvor mange rektangulære kamerabilder er nødvendig for å kartlegge overflaten av en planet[14]
  • få et romskip til å bremse til akkurat riktig tid når det skal gå inn i den fastlagte banen rund en planet[14]

Fotnoter

  1. ^ Tidsangivelsen kan være omstridt, det er her tatt utgangspunkt i tidsangivelsen slik den fremkommer i Nevi'im og ikke når Nevi'im er skrevet ned.

Referanser

  1. [1]
    «Pi to 1,000,000 places».
  2. [2]
    «Calculating 100 trillion digits of pi on Google Cloud». Google Cloud Blog (på engelsk). Besøkt 10. juni 2022.
  3. [3]
    1. Kong 7,23
  4. [4]
    2. Krøn 4,2
  5. [5]
    "Hvor mange desimaler i pi trenger vi virkelig?", NASA, https://www.jpl.nasa.gov/edu/news/2016/3/16/how-many-decimals-of-pi-do-we-really-need/, besøkt 3. mars 2018
  6. [6]
    James Grime, Pi and the size of the Universe, Numberphile, https://www.youtube.com/watch?v=FpyrF_Ci2TQ
  7. [7]
    Arndt & Haenel 2006, s. 17–19 harvnb error: no target: CITEREFArndtHaenel2006 (help)
  8. [8]
    Schudel, Matt (25. mars 2009). «John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi». The Washington Post. s. B5.
  9. [9]
    Connor, Steve (8. januar 2010). «The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?». The Independent. London. Arkivert fra originalen 2. april 2012. Besøkt 14. april 2012. «Arkivert kopi». Archived from the original on 2. april 2012. Besøkt 3. mars 2018.CS1-vedlikehold: Uheldig URL (link)
  10. [10]
    Arndt & Haenel 2006, s. 18 harvnb error: no target: CITEREFArndtHaenel2006 (help)
  11. [11]
    «The constant π: Ramanujan type formulas». Besøkt 4. november 2007.
  12. [12]
    News, A. B. C. «What happened when one state tried defining pi as 3.2». ABC News (på engelsk). Besøkt 14. oktober 2019.
  13. [13]
    Forskning.no Arkivert 2011-08-12, hos Wayback Machine.
  14. [14]
    Kleinman, Zoe (14. mars 2019). «Woman smashes pi world record» (på engelsk). Besøkt 15. mars 2019.

Diverse

  • David Blatner: The Joy of Pi, Walker & Company (1997), ISBN 0-8027-1332-7.
  • I 1998 debuterte Darren Arnofsky med en film med navnet pi som handlet om en matematiker som arbeidet med nettopp tallet π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }.

Eksterne lenker

  • (no) Norsk side om π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }
  • (en) π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } med fire millioner desimaler
  • (en) Pi-memory
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox
favicon
2 Sources
favicon
1 Sources
faviconfavicon
2 Sources
faviconfaviconfaviconfavicon
5 Sources
faviconfavicon
2 Sources