Loading AI tools
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Miara Hausdorffa – rodzaj miary zewnętrznej, która przypisuje liczbę z zakresu do każdego zbioru w przestrzeni lub, bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeśli jest skończony) lub jeśli jest nieskończony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa zwykłej krzywej w jest równa jej długości. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa mierzalnego podzbioru w jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. Stąd wynika, że miara Hausdorffa jest uogólnieniem wyliczenia, długości, powierzchni lub objętości. Istnieją -wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego które niekoniecznie jest całkowite. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. Miary te są podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiają się one naturalnie w analizie harmonicznej lub teorii potencjału.
Niech będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru niech oznacza jego średnicę, to jest
Niech będzie dowolnym podzbiorem a liczbą rzeczywistą. Definiuje się
Należy zauważyć, że zmniejsza się monotoniczne wraz z wzrostem gdyż im większe jest tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że infimum jest mniejsze. Zatem granica istnieje, lecz może być nieskończona. Niech
Można zauważyć, że jest miarą zewnętrzną. Nazywa się ją -wymiarową miarą Hausdorffa z
Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo że przybliżenia mogą się różnić[1].
Jeśli jest dodatnią liczbą całkowitą, wymiarowa miara Hausdorffa w jest przeskalowaną typową -wymiarową miarą Lebesgue’a która jest znormalizowana w taki sposób, że miara kostki jednostkowej wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego zbioru borelowskiego
gdzie to objętość hiperkuli jednostkowej
Powyższy wzór upraszcza się do
gdzie jest objętością hiperkuli o jednostkowej średnicy.
Uwaga: spotyka się też definicje miary Hausdorffa unormowane w taki sposób aby odpowiadały one dokładnie miarom Lebesgue’a stosownie do całkowitego wymiaru przestrzeni euklidesowej.
Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji wymiaru Hausdorffa to
gdzie przyjmuje się
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.