Algebra liniowa

Algebra liniowa – dział algebry opisujący przestrzenie liniowe i inne moduły, zwłaszcza skończonego wymiaru, a także blisko powiązane tematy jak układy równań liniowych i macierze. Algebra liniowa obejmuje przez to zarówno elementy algebry elementarnej, jak i abstrakcyjnej.

Ten artykuł dotyczy działu matematyki. Zobacz też: algebra nad ciałem.

Wykład dotyczący podstaw algebry macierzy

Algebra liniowa jest narzędziem różnych dziedzin matematyki oraz innych nauk, zwłaszcza empirycznych i technicznych. Do jej pojęć i twierdzeń odwołują się teoria liczb, geometria, inne obszary algebry, analiza matematyczna z równaniami różniczkowymi i tematy o licznych zastosowaniach jak programowanie liniowe. Fizyka teoretyczna korzysta ze wspomnianych dyscyplin, wiele jej wielkości to wektory i tensory, a mechanika kwantowa jest formalizowana jako teoria pewnego typu przestrzeni wektorowych (przestrzeń Hilberta). W ekonomii algebra liniowa dostarcza metod modelowania i rozwiązywania problemów związanych z alokacją zasobów. Macierze są też podstawą niektórych technik kryptograficznych i technologii informatycznych jak sieci neuronowe i uczenie maszynowe.

Podstawowe problemy zaliczane do tej dziedziny – jak układ dwóch równań liniowych zmiennych rzeczywistych – postawiono i rozwiązano już w starożytności. W nowożytności nastąpiły intensywny rozwój jej pojęć, wyodrębnienie tej dziedziny i nazwanie jej. Niektóre wyniki z jej pogranicza opublikowano dopiero w II połowie XX wieku – przykładem jest algorytm Strassena. W XXI wieku algebra liniowa bywa uznawana za poznaną dość dobrze^[1], jednak istnieje całe towarzystwo naukowe jej poświęcone, wydające czasopisma na jej temat i przyznające nagrody za jej rozwój^[2].

Zagadnienia

Algebra liniowa zawiera teorie^[3]:

• form kwadratowych,
• macierzy,
• homomorfizmów (przekształceń liniowych) między przestrzeniami liniowymi,
• przekształceń dwuliniowych (np. iloczyn skalarny)
• przekształceń antyliniowych (np. iloczyn skalarny w przestrzeniach zespolonych)
• przekształceń półtoraliniowych,
• przekształceń wieloliniowych.

Naukowcy

Z tym tematem związana jest kategoria: algebraicy liniowi.

Tej dziedzinie algebry przysłużyli się między innymi:

• Isaac Newton (1643–1727)
• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716)
• Seki Takakazu
• Gabriel Cramer (1704–1752)
• Alexandre-Théophile Vandermonde
• Pierre Simon de Laplace (1749–1827)
• Augustin Louis Cauchy (1789–1857)
• William Rowan Hamilton (1805–1865)
• Hermann Grassmann (1809–1877)
• James Joseph Sylvester (1814–1897)
• Arthur Cayley (1821–1895)
• Leopold Kronecker (1823–1891)
• Marie Ennemond Camille Jordan (1838–1922)
• Alfredo Capelli (1855–1910)
• Giuseppe Peano (1858–1932)
• Hermann Weyl (1885–1955)
• Volker Strassen (1936–)