Algebra abstrakcyjna

Algebra abstrakcyjna (dawniej algebra współczesna^[1]) – dział matematyki badający struktury algebraiczne za pomocą ich homomorfizmów^[1][2][3] i innych narzędzi^[4]. Niekiedy za części algebry abstrakcyjnej uznaje się także następujące dyscypliny matematyczne: algebrę liniową, elementarną teorię liczb i matematykę dyskretną^[5]. Na przykład Ash przydzielił do algebry abstrakcyjnej następujące obszary matematyki: logikę matematyczną i podstawy matematyki, elementarną arytmetykę, elementarną teorię liczb, nieformalną teorię grup, algebrę liniową i teorię operatorów liniowych^[5][6].

Permutacje kostki Rubika mają strukturę grupy. Grupa to podstawowe pojęcie algebry abstrakcyjnej.

Nazwę algebra abstrakcyjna wprowadzono na początku XX wieku dla odróżnienia jej od innych części algebry^[2].

Przykłady struktur algebraicznych

Są nimi m.in.:

• grupy^{[1][7][8][4][5][9][10][11]}, półgrupy^[11] i grupoidy^[12];
• ciała^{[1][4][5][10][13][14][15][11]}, pierścienie^{[1][4][5][10][16][13][17][11]} i ideały^{[18][4][10][19][11]};
• przestrzenie wektorowe i moduły^{[1][4][20][11]};
• algebry nad ciałami^[21][11].

Rola w matematyce

Algebraik Claude Chevalley twierdził, że algebra przede wszystkim stanowi język matematyki i nie istnieje sama dla siebie, lecz jej kierunki rozwoju są uzależnione od potrzeb w innych dziedzinach matematyki^[22]. Hermann Weyl w swym artykule Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege mathematischen Verstandisse (1932) stwierdził, iż algebra abstrakcyjna oraz topologia są głównymi drogami zrozumienia matematycznego^[22].

Takie ujęcie roli algebry abstrakcyjnej w matematyce może uzasadniać algebraizację całej matematyki, rozpoczętą na przełomie XIX i XX wieku^[22]. Algebraizacja matematyki polega na abstrakcyjnym formułowaniu problemów matematycznych w postaci algebraicznej^[10]. Osiągane tą metodą wyniki łączą zazwyczaj wiele pozornie odległych działów matematyki i często są zaskakujące^[10].