Najlepsze pytania
Chronologia
Czat
Perspektywa
Czynnik pierwszy
dowolny dzielnik liczby całkowitej będący liczbą pierwszą Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Remove ads
Czynnik pierwszy – dowolna liczba pierwsza, która dzieli bez reszty daną liczbę naturalną[1]. Na przykład jednym z czynników pierwszych liczby 20 jest 5.


Jedna z podstawowych obserwacji dotyczących liczb naturalnych mówi: każda liczba naturalna większa od 1 jest albo pierwsza, albo ma przynajmniej jeden czynnik pierwszy. Z niej wynika kolejna: każda liczba naturalna większa od 1 jest pierwsza lub daje się zapisać w postaci iloczynu liczb pierwszych. Twierdzenie to nazywa się podstawowym twierdzeniem arytmetyki.
Przedstawienie danej liczby złożonej w postaci iloczynu czynników pierwszych nazywa się rozkładem liczby na czynniki pierwsze. Rozkład ten jest jednoznaczny w tym sensie, że wszystkie rozkłady danej liczby na czynniki pierwsze różnią się tylko ich kolejnością.
Na przykład:
Dla czynników pierwszych prawdziwe są m.in. poniższe stwierdzenia:
- każda liczba złożona ma czynnik pierwszy, który nie przekracza pierwiastka kwadratowego z tej liczby;
- każda liczba naturalna postaci 4k + 3 jest albo pierwsza, albo ma przynajmniej jeden czynnik pierwszy tej postaci
- i przy czym
- każda liczba naturalna postaci 6k + 5 jest albo pierwsza, albo ma przynajmniej jeden czynnik pierwszy tej postaci
- i przy czym
Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze ma wysoką złożoność obliczeniową, co stanowi podstawę algorytmów stosowanych w kryptografii asymetrycznej (patrz np. klucz RSA).
Remove ads
Rozkład liczby wymiernej na czynniki
Podsumowanie
Perspektywa
Rozkład na czynniki pierwsze (inaczej faktoryzacja z angielskiego factorization) można też jednoznacznie wykonać dla dowolnej dodatniej liczby wymiernej Wówczas:
gdzie są liczbami całkowitymi.
Taki rozkład ma duże znaczenie w teorii liczb, w szczególności służy do konstrukcji liczb p-adycznych.
Remove ads
Algorytm rozkładu na czynniki pierwsze
Elementarnym sposobem rozkładu liczb na czynniki pierwsze jest wykonywanie kolejnych dzieleń, np.:
56|2 28|2 14|2 7|7 1| |
Szukamy najmniejszej liczby pierwszej dzielącej daną liczbę (56). Jest to 2. Dzielimy: 56/2=28. Powtarzamy tę czynność dla kolejnych wyników aż do uzyskania w ilorazie liczby 1. Otrzymujemy wówczas wszystkie dzielniki pierwsze szukanej liczby. Na schemacie znajdują się one po prawej stronie.
Remove ads
Zobacz też
Przypisy
Linki zewnętrzne
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads