Liczby Bernoulliego

Liczby Bernoulliego – nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako ${\displaystyle B_{k},}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest numerem porządkowym liczby, ${\displaystyle k=0,1,2...,}$ wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: ${\displaystyle 1^{10}+2^{10}+3^{10}+...+1000^{10}}$ „w pół kwadransa”.

Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.

Definicja

Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza – podana niżej jako definicja 1 i starsza – niżej cytowana jako definicja 2. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji 1 oznacza się przez ${\displaystyle B_{k},}$ a według definicji 2 – przez ${\displaystyle B_{k}^{*}.}$ Przy tym liczby ${\displaystyle B_{k}^{*}}$ stanowią podzbiór właściwy liczb ${\displaystyle B_{k}.}$

Liczby Bernoulliego – definicja 1

Liczby Bernoulliego definiuje się jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji^[1]:

${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\cdot {x^{n}}}{n!}}.}$

Szereg powyższy jest zbieżny dla ${\displaystyle |x|<2\pi .}$

Równoważnie liczby Bernoulliego można zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}\cdot B_{k}=0,}$

gdzie ${\displaystyle B_{0}=1.}$

Według tej definicji wszystkie liczby Bernoulliego o indeksach nieparzystych większych od 2 są równe 0.

Liczby o indeksach parzystych większych od 0 są na przemian dodatnie i ujemne.

Pierwsze 21 liczb Bernoulliego zaczynając od ${\displaystyle B_{0}{:}}$

${\displaystyle 1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {1}{42}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {5}{66}},0,-{\frac {691}{2730}},0,{\frac {7}{6}},0,-{\frac {3617}{510}},0,{\frac {43867}{798}},0,-{\frac {174611}{330}},\dots }$

Liczby Bernoulliego – definicja 2

Liczby Bernoulliego definiuje się tym razem jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

${\displaystyle 1-{\frac {x}{2}}\operatorname {ctg} \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {B_{1}^{*}\cdot {x^{2}}}{2!}}+{\frac {B_{2}^{*}\cdot {x^{4}}}{4!}}+{\frac {B_{3}^{*}\cdot {x^{6}}}{6!}}+\ldots }$

Pierwsze kilka liczb Bernoulliego zaczynając od ${\displaystyle B_{1}^{*}{:}}$

${\displaystyle {\frac {1}{6}},{\frac {1}{30}},{\frac {1}{42}},{\frac {1}{30}},{\frac {5}{66}},{\frac {691}{2730}},{\frac {7}{6}},{\frac {3617}{510}},{\frac {43867}{798}},{\frac {174611}{330}},{\frac {854513}{138}},\dots }$

Powiązanie pomiędzy liczbami ${\displaystyle B_{n}^{*}}$ i ${\displaystyle B_{n}}$ opisuje poniższy wzór:

${\displaystyle B_{n}={\begin{cases}1,&{\mbox{dla }}n=0\\-{\frac {1}{2}},&{\mbox{dla }}n=1\\(-1)^{({\frac {n}{2}})-1}\cdot {B_{\frac {n}{2}}^{*}},&{\mbox{dla }}n{\mbox{ parzystych}}\\0,&{\mbox{dla }}n{\mbox{ nieparzystych}}\end{cases}}}$

Wzór asymptotyczny

Wykorzystując wzór Stirlinga, otrzymuje się następujące przybliżenie wartości liczb Bernoulliego:

${\displaystyle B_{n}\approx (-1)^{n-1}\cdot 4\cdot {\sqrt {\pi \cdot n}}\cdot \left({\frac {n}{\pi {e}}}\right)^{2n}.}$

Twierdzenie Staudta

Każda liczba Bernoulliego ${\displaystyle B_{\nu }}$ może być przedstawiona w postaci^[2]

${\displaystyle B_{\nu }=C_{\nu }-\sum {\frac {1}{k+1}},}$ gdzie

${\displaystyle C_{\nu }}$ jest liczbą naturalną, a sumowanie przebiega po takich dzielnikach ${\displaystyle k}$ liczby ${\displaystyle \nu ,}$ dla których ${\displaystyle k+1}$ jest liczbą pierwszą.

Na przykład liczba Bernoulliego ${\displaystyle B_{6}={\frac {1}{42}}}$ może być przedstawiona w postaci ${\displaystyle B_{6}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{7}},}$ bo liczba 6 ma cztery dzielniki: 1, 2, 3, 6, z których trzy: 1, 2, 6 są odpowiednio liczbami o 1 mniejszymi od liczb pierwszych: 2, 3, 7.

Przykłady zastosowań

Można je znaleźć w rozwinięciach w szereg Taylora wielu funkcji takich jak ${\displaystyle \operatorname {tg} x,\operatorname {ctg} x,\operatorname {tgh} x,{\frac {x}{e^{x}-1}},\ln |\sin(x)|}$ i w innych.

Wzór Faulhabera na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{j^{k}}={\frac {1}{k+1}}\cdot \left[n^{k+1}+{k+1 \choose 1}\,B_{1}n^{k}+{k+1 \choose 2}\,B_{2}n^{k-1}+\ldots +{k+1 \choose k}\,B_{k}n\right].}$

Związek z funkcją dzeta Riemanna wyraża wzór Eulera:

${\displaystyle \zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}={\frac {\pi ^{2k}2^{2k-1}}{(2k)!}}B_{2k}.}$

W szczególności wynika stąd, że

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Inny wzór wyprowadzony także przez Eulera:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}}{\frac {1}{n^{2k}}}=(-1)^{k+1}{\frac {\pi ^{2k}\left(2^{2k-1}-1\right)}{(2k)!}}B_{2k}.}$

Liczby Bernoulliego badano też m.in. w związku z liczbami pierwszymi regularnymi. Wiele dalszych własności liczb Bernoulliego i innych ich zastosowań można znaleźć w podanych niżej źródłach.