Modularność

Modularność – własność obiektów algebraicznych pierwotnie zaobserwowana w teorii grup przez Richarda Dedekinda, stąd znana też jako prawo modularności Dedekinda^[a], a następnie przeniesiona na grunt teorii pierścieni i teorii modułów^[1]. Naturalnym kontekstem okazała się jednak teoria krat – kraty spełniające tę własność nazwano kratami modularnymi.

Ten artykuł dotyczy własności matematycznej. Zobacz też: moduł.

Grupy, pierścienie i moduły

Osobny artykuł: krata podgrup.

Dla dowolnych podgrup ${\displaystyle A,B,C}$ danej grupy, dla których ${\displaystyle A\leqslant C}$ (${\displaystyle A}$ jest podgrupą ${\displaystyle C}$), zachodzi własność modularności

${\displaystyle AB\cap C=A(B\cap C),}$

gdzie mnożenie (oznaczone przez zestawienie) oznacza iloczyn kompleksowy; w notacji addytywnej z kolei własność tam ma postać

${\displaystyle (A+B)\cap C=A+(B\cap C),}$

przy czym dodawanie ${\displaystyle A+B}$ oznacza grupę generowaną przez ${\displaystyle A\cup B.}$

W tej postaci jest ona prawdziwa dla pierścieni, czy modułów, gdy ${\displaystyle A,B,C}$ oznaczają ideały danego pierścienia lub podmoduły ustalonego modułu (przy założeniu ${\displaystyle A}$ jest ideałem/podmodułem ${\displaystyle C;}$ ${\displaystyle A+B}$ oznacza ideał/moduł generowany przez ${\displaystyle A\cup B}$)^[b][c]. Wszystko co dotyczy modułów przenosi się bez zmian na przestrzenie liniowe.

Kraty

Dla krat własność tę można przedstawić w postaci tożsamości: dla dowolnych elementów ${\displaystyle a,b,c}$ zachodzi

${\displaystyle ((a\wedge c)\vee b)\wedge c=(a\wedge c)\vee (b\wedge c).}$

Można ją wyrazić w słabszej postaci jednego z aksjomatów rozdzielności: dla elementów ${\displaystyle a,b,c,}$ przy czym ${\displaystyle a\leqslant c,}$ zachodzi

${\displaystyle (a\vee b)\wedge c=(a\wedge c)\vee (b\wedge c)=a\vee (b\wedge c).}$

Sformułowania są równoważne, gdyż ${\displaystyle a\leqslant c}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a\wedge c=a.}$ Jest to w istocie postać opisana w poprzedniej sekcji dla struktur algebraicznych.

Ponieważ w dowolnej kracie prawdziwa jest nierówność

${\displaystyle ((a\wedge c)\vee b)\wedge c\geqslant (a\wedge c)\vee (b\wedge c),}$

jako że tak ${\displaystyle (a\wedge c)\vee b,}$ jak i ${\displaystyle c}$ są większe lub równe od ${\displaystyle a\wedge c}$ oraz ${\displaystyle b\wedge c,}$ to prawo modularności jest równoważne

${\displaystyle ((a\wedge c)\vee b)\wedge c\leqslant (a\wedge c)\vee (b\wedge c).}$

Kraty rozdzielna, projektywna, czy metryczna są kratami modularnymi.

Przykłady

Wśród przykładów krat modularnych można wymienić kraty podgrup normalnych (permutowalnych/quasi-normalnych)^[d] danej grupy, krata podprzestrzeni danej przestrzeni liniowej (podprzestrzeni danej przestrzeni rzutowej), krata ideałów danego pierścienia, czy krata podmodułów danego modułu. We wszystkich tych przypadkach porządkiem częściowym w tych kratach jest zawieranie. Kres dolny to część wspólna zbiorów, zatem kres dolny dowolnej liczby elementów zawsze istnieje; kres górny dowolnego zbioru ${\displaystyle X}$ elementów definiuje się jako ${\displaystyle \bigvee X=\bigcap \ \{y\colon x\subseteq y\ \mathrm {dla\,wszystkich} \ x\in X\}.}$ W języku algebraicznym kres dolny to podgrupa, podprzestrzeń, ideał lub podmoduł generowane przez wszystkie elementy należące do sumy ${\displaystyle \bigcup X.}$

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą, a ${\displaystyle H}$ oraz ${\displaystyle K}$ jej dwiema podgrupami zawartymi jedna w drugiej, dla których ${\displaystyle H\leqslant K\leqslant G.}$ Jeżeli ${\displaystyle N}$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle G,}$ to ${\displaystyle NH=KN}$ oraz ${\displaystyle H\cap N=K\cap N,}$ pociągają ${\displaystyle H=K.}$ Z prawa modularności wynika bowiem ${\displaystyle H=H(H\cap N)=H(K\cap N)=K\cap NH=K\cap KN=K;}$ założenie normalności ${\displaystyle N}$ jest niezbędne w celu zagwarantowania, że ${\displaystyle NH=KN}$ ma strukturę grupy (jako iloczyny półproste).

Zobacz też

• dziedzina Dedekinda
• dziedzina Prüfera
• grupa modularna (Iwasawy)
• lemat Zassenhausa
• podgrupa modularna

Uwagi

1. Kronecker „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; zob. moduł: Motywacja.
2. W notacji addytywnej (grupy przemienne, pierścienie lub moduły): niech ${\displaystyle (A+B)\cap C=A+(B\cap C);}$ ponieważ ${\displaystyle A\subseteq A+(B\cap C)=(A+B)\cap C\subseteq C,}$ to ${\displaystyle A\subseteq C.}$
   Odwrotnie: niech ${\displaystyle A\subseteq C.}$ Jeśli ${\displaystyle x\in (A+B)\cap C,}$ to ${\displaystyle x\in C}$ i istnieją takie ${\displaystyle b\in B,a\in A,}$ że ${\displaystyle x=a+b.}$ Wówczas ${\displaystyle b\in B}$ oraz ${\displaystyle b=-a+x\in A+C=C}$ (ponieważ ${\displaystyle A\subseteq C}$), więc ${\displaystyle b\in (B\cap C).}$ Stąd ${\displaystyle x=a+b\in A+(B\cap C),}$ a zatem ${\displaystyle (A+B)\cap C\subseteq A+(B\cap C).}$ Zawieranie przeciwne: jeśli ${\displaystyle x\in A+(B\cap C),}$ to istnieją wtedy takie ${\displaystyle y\in B\cap C}$ oraz ${\displaystyle a\in A,}$ że ${\displaystyle x=a+y.}$ Wtedy ${\displaystyle x\in C,}$ ponieważ ${\displaystyle y\in C,a\in A\subseteq C,}$ a więc ${\displaystyle a+y\in C.}$ Skoro zaś ${\displaystyle y\in B,a\in A,}$ to ${\displaystyle x=a+y\in A+B.}$ Dlatego ${\displaystyle x\in (A+B)\cap C,}$ co dowodzi ${\displaystyle A+(B\cap C)\subseteq (A+B)\cap C.}$
3. O konieczności założenia ${\displaystyle A\leqslant C}$ przekonuje następujący przykład: niech ${\displaystyle D=2\mathbb {Z} \leqslant \mathbb {Z} }$ oraz ${\displaystyle A=4\mathbb {Z} ,B=10\mathbb {Z} ,C=6\mathbb {Z} ,}$ wtedy ${\displaystyle (A+B)\cap C=D\cap C=C}$ oraz ${\displaystyle A+(B\cap C)=A+30\mathbb {Z} =D,}$ przy czym ${\displaystyle C\neq D.}$
4. Dowolna podgrupa grupy przemiennej (abelowej) jest normalna.