Parzystość liczb

Parzystość liczb – podzielność dowolnej liczby całkowitej przez dwa^[1]. Innymi słowy liczba parzysta to wielokrotność dwóch – każdą liczbę parzystą można przedstawić jako ${\displaystyle 2k}$ dla pewnego całkowitego ${\displaystyle k}$^[2], przez co zbiór liczb parzystych ma postać:

${\displaystyle \left\{2k\colon \,k\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \right\}.}$

Klocki Cuisenaire’a ilustrujące nieparzystość liczby 5 oraz parzystość liczby 6. Piątka nie jest wielokrotnością dwójki, a szóstka już tak.

Zegarek, w którym tylko parzyste godziny są zaznaczone cyframi

Pozostałe liczby całkowite nazywa się nieparzystymi. Każdą z nich można przestawić jako ${\displaystyle 2k+1}$ dla pewnego całkowitego ${\displaystyle k}$^[3]; zbiór liczb nieparzystych ma więc postać:

${\displaystyle \left\{2k+1\colon \,k\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\dots ,-5,-3,-1,1,3,5,\dots \right\}.}$

Własności arytmetyczne

Liczby parzyste

Suma, różnica i iloczyn liczb parzystych są zawsze parzyste^[2]:

• parzysta ± parzysta = parzysta; bo ${\displaystyle 2k\pm 2l=2(k\pm l).}$
• parzysta · parzysta = parzysta; bo ${\displaystyle 2k\cdot 2l=2(2kl).}$

Liczby nieparzyste

Suma i różnica dwóch liczb nieparzystych są parzyste^[3]:

• nieparzysta ± nieparzysta = parzysta; bo ${\displaystyle (2k+1)+(2l+1)=2(k+l+1)}$ i ${\displaystyle (2k+1)-(2l+1)=2(k-l).}$

Iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest nieparzysty^[3]:

• nieparzysta · nieparzysta = nieparzysta; bo ${\displaystyle (2k+1)\cdot (2l+1)=2(2kl+k+l)+1.}$

Liczby różnej parzystości

Tablica Cayleya dodawania liczb parzystych i nieparzystych

+	parzysta	nieparzysta
parzysta	parzysta	nieparzysta
nieparzysta	nieparzysta	parzysta

Suma i różnica liczby parzystej i nieparzystej są nieparzyste:

• parzysta ± nieparzysta = nieparzysta; bo ${\displaystyle 2k+(2l+1)=2(k+l)+1}$ i ${\displaystyle 2k-(2l+1)=2(k-l)-1.}$

Iloczyn liczby parzystej z nieparzystą jest parzysty:

• parzysta · nieparzysta = parzysta; bo ${\displaystyle 2k\cdot (2l+1)=2(2kl+k).}$

Perspektywa algebry abstrakcyjnej

Liczby parzyste są przykładem:

• podpierścienia pierścienia liczb całkowitych; podpierścień ten nie zawiera jedynki^[4];
• ideału pierścienia liczb całkowitych^[5].

Zobacz też

• modulo
• Hipoteza Goldbacha
• Problem Collatza
• Liczby doskonałe
• Symbolika liczb
• Parzystokopytne
• Nieparzystokopytne

Inne znaczenia parzystości

• Funkcje parzyste i nieparzyste
• Permutacje parzyste i nieparzyste
• Parzystość P
• Parzystość T
• Parzystość R

Przypisy

1. Rozwój pojęcia liczby. [online], www.math.us.edu.pl [dostęp 2022-06-27].
2. liczby parzyste, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-10-26].
3. liczby nieparzyste, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-10-26].
4. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ring, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-04-16].
5. ideał, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-10-26].

Linki zewnętrzne

• Krzysztof Kwiecień, Liczby parzyste i nieparzyste – wprowadzenie, kanał Khan Academy na YouTube, 20 września 2015 [dostęp 2024-04-16].

Encyklopedie internetowe (właściwość matematyczna):

• Catalana: 0153753