Proces stacjonarny

Proces stacjonarny – proces stochastyczny, w którym wszystkie momenty oraz momenty łączne są stałe.

Dwie symulacje procesów, jeden (górny) stacjonarny, drugi niestacjonarny.

Gdy wartość średnia, wariancja oraz funkcja autokorelacji zmieniają się wraz ze zmianą czasu, proces losowy ${\displaystyle x(t)}$ nazywa się niestacjonarnym. W szczególnym przypadku, gdy wartość średnia oraz funkcja autokorelacji nie zależą od czasu ${\displaystyle t_{1},}$ proces losowy ${\displaystyle x(t)}$ nazywa się słabo stacjonarnym, kowariancyjnie stacjonarnym^[1] lub stacjonarnym w szerszym zakresie. Średnia wartość słabo stacjonarnych procesów jest stała, a funkcja autokorelacji zależy tylko od przesunięcia ${\displaystyle \tau .}$

W matematyce proces stacjonarny (lub proces ściśle stacjonarny) – proces stochastyczny, dla którego rozkłady gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ nie zmieniają się wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni. W efekcie, parametry takie jak średnia i wariancja także nie ulegają zmianie wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni.

Przykładem procesu stacjonarnego jest proces szumu białego. Procesem niestacjonarnym jest zaś proces jednokrotnego uderzenia w talerze perkusyjne, gdzie moc akustyczną kolizji zmniejsza się wraz z upływem czasu.

Dyskretny w czasie proces stacjonarny, gdzie przestrzeń zdarzeń jest także dyskretna (zmienna losowa może przyjmować jedną z ${\displaystyle N}$ możliwych wartości) jest znany jako schemat Bernoulliego. Jeśli ${\displaystyle N=2,}$ proces jest nazywany procesem Bernoulliego.

Słaba stacjonarność (stacjonarność w szerszym sensie)

O słabszej formie stacjonarności często mówi się w przypadku problemów związanych z przetwarzaniem sygnałów. Słaba stacjonarność jest także znana jako stacjonarność kowariancyjna, stacjonarność w szerszym sensie lub stacjonarność rzędu dwa. Warunkiem stacjonarności w szerszym sensie procesu losowego jest tylko to, aby pierwszy i drugi moment nie zmieniał się w czasie.

Ciągły w czasie proces losowy ${\displaystyle x(t),}$ który jest stacjonarny w szerszym sensie ma nałożone następujące ograniczenia na jego wartość średnią:

1. ${\displaystyle \mathbb {E} \{x(t)\}=m_{x}(t)=m_{x}(t+\tau )\,\,\forall \,\tau \in \mathbb {R} }$

i funkcję korelacji:

2. ${\displaystyle \mathbb {E} \{x(t_{1})x(t_{2})\}=R_{x}(t_{1},t_{2})=R_{x}(t_{1}+\tau ,t_{2}+\tau )=R_{x}(t_{1}-t_{2},0)\,\,\forall \,\tau \in \mathbb {R} }$

Pierwsza własność implikuje stałość wartości średniej ${\displaystyle m_{x}(t).}$ Druga własność implikuje zależność wartości funkcji korelacji wyłącznie od różnicy pomiędzy ${\displaystyle t_{1}}$ i ${\displaystyle t_{2}}$ i jest funkcją tylko jednej zmiennej (przesunięcia). Czasami zamiast zapisu:

${\displaystyle R_{x}(t_{1}-t_{2},0)}$

upraszcza się notację i zapisuje następująco:

${\displaystyle R_{x}(\tau ),}$ gdzie ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}.}$