Tetracja

Tetracja (znana też jako iterowane potęgowanie, superpotęgowanie, wieża wykładnicza lub hiper-4) – działanie dwuargumentowe będące wielokrotnym potęgowaniem elementu przez siebie.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{\frac {n}{}}}$ Nieskończona wieża wykładnicza dla podstawy ${\displaystyle (e^{-1})^{e}\leqslant x\leqslant e^{e^{-1}})}$

Słowo tetracja wymyślił angielski matematyk Reuben Louis Goodstein łącząc tetra- (cztery) i iteracja. W praktyce tetracja jest używana do zapisu bardzo dużych liczb. Poniżej przedstawione są pierwsze cztery hiperoperatory:

1. dodawanie

   ${\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{n}}$

   ${\displaystyle a}$ powiększone o ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ razy.

2. mnożenie

   ${\displaystyle a\cdot n=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}}$

   ${\displaystyle a}$ dodane do siebie ${\displaystyle n}$ razy.

3. potęgowanie

   ${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n}}$

   ${\displaystyle a}$ pomnożone przez siebie ${\displaystyle n}$ razy.

4. tetracja

   ${\displaystyle ^{n}a=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$

   ${\displaystyle a}$ potęgowane przez siebie ${\displaystyle n}$ razy.

gdzie każda operacja jest zdefiniowana przez iterowanie poprzedniej.

W odróżnieniu od pierwszych trzech działań dla tetracji nie ma uogólnienia wartości ${\displaystyle n}$ na liczby wymierne (a tym bardziej na rzeczywiste).

Definicja

Dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej ${\displaystyle a>0}$ i nieujemnej liczby całkowitej ${\displaystyle n\geqslant 0}$ definiujemy ${\displaystyle ^{n}a}$ jako:

${\displaystyle {^{n}a}={\begin{cases}1&{\mbox{ jeśli }}n=0\\a^{(^{n-1}a)}&{\mbox{ jeśli }}n>0\end{cases}}}$

Iterowane potęgowanie

Jak widać z definicji, kiedy wyliczamy tetrację wyrażoną jako „wieża potęgowania”, potęgowanie rozpoczyna się w najgłębszym poziomie (w zapisie na najwyższym poziomie). Innymi słowy:

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65\,536.}$

Należy pamiętać, że potęgowanie nie jest łączne, czyli obliczanie wyrażenia w odwrotnej kolejności prowadzi do innego wyniku:

${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}\neq \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=256.}$

Z tego powodu wyrażenia te muszą być obliczane z góry do dołu (lub od prawej do lewej).

Przykłady

W poniższej tabeli większość wartości jest zbyt duża, by je zapisać w notacji naukowej, zastosowano więc iterowany zapis wykładniczy, aby je wyrazić w podstawie 10. Wartości zawierające przecinek dziesiętny są przybliżone.

${\displaystyle x}$	${\displaystyle ^{2}x}$	${\displaystyle ^{3}x}$	${\displaystyle ^{4}x}$	${\displaystyle ^{5}x}$
1	1	1	1	1
2	4	16	65 536	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(4{,}29509)}$
3	27	7 625 597 484 987	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1{,}09902)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1{,}09902)}$
4	256	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(2{,}18788)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(2{,}18726)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(2{,}18726)}$
5	3125	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(3{,}33931)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(3{,}33928)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(3{,}33928)}$
6	46 656	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(4{,}55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4{,}55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(4{,}55997)}$
7	823 543	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(5{,}84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(5{,}84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(5{,}84259)}$
8	16 777 216	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(7{,}18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(7{,}18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(7{,}18045)}$
9	387 420 489	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(8{,}56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(8{,}56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(8{,}56784)}$
10	10 000 000 000	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(1)}$

Terminologia

Istnieje wiele określeń dla tetracji, z których każdy ma swoje logiczne uzasadnienie, lecz nie stały się powszechne z różnych powodów. Poniżej jest zestawienie każdego terminu z uzasadnieniem za i przeciw.

• Termin tetracja, wprowadzony przez Goodsteina w 1947 roku w publikacji Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory^[1] (uogólniające rekursywne reprezentacje podstawowe użyte w twierdzeniu Goodsteina do zastowania w wyższych operacjach), zdobył dominującą pozycję. Także termin ten spopularyzował Rudy Rucker w pracy Infinity and the Mind(inne języki).
• Termin superpotęgowanie został opublikowany przez Bromera w Superexponentiation w 1987^[2]. Terminu tego używał wcześniej Ed Nelson w swojej książce Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
• Termin hiperpotęgowanie^[3] jest naturalnym złożeniem hiper i potęgowanie, który trafnie opisuje tetrację. Problem tkwi w znaczeniu hiper w odniesieniu do hierachii hiper operatorów. Rozważając hiper operatory, termin hiper odnosi się do wszystkich pozycji, a termin super odnosi się do pozycji 4 lub tetracji. Wobec tych rozważań hiperpotęgowanie jest mylące, gdyż odnosi się tylko do tetracji.
• Termin wieża wykładnicza^[4] jest używany sporadycznie, w postaci „wieża wykładnicza rzędu ${\displaystyle n}$” dla ${\displaystyle \underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}.}$

Tetracja jest często mylona z blisko powiązanymi funkcjami i wyrażeniami. To dlatego, że wiele terminów przez nie używane, może być zastosowane w tetracji. Oto kilka powiązanych terminów:

Forma	Terminologia
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}$	Tetracja
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$	Iterowana funkcja wykładnicza
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}$	Zagnieżdżone potęgowanie (także wieże)
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$	Nieskończone potęgowanie (także wieże)

W pierwszym wyrażeniu ${\displaystyle a}$ jest podstawą, a ilość pojawiania się ${\displaystyle a}$ jest wysokością. W trzecim wyrażeniu, ${\displaystyle n}$ jest wysokością, lecz każda podstawa jest inna.

Należy zachować ostrożność przy powoływaniu się na iterowane potęgowanie, jako że taka forma zapisu wyrażeń nie jest jednoznaczna.

Notacja

Sposoby zapisu tetracji (niektóre z nich pozwalają nawet na wyższy poziom iteracji) obejmują:

Nazwa	Forma	Opis
Zapis standardowy	${\displaystyle {}^{n}a}$	Używany przez Maurera [1901] i Goodsteina [1947]; Zapis spopularyzował Rudy Rucker w książce Infinity and the Mind(inne języki).
Notacja strzałkowa Knutha	${\displaystyle a{\uparrow \uparrow }n}$	Pozwala na rozszerzenie przez dodanie większej ilości strzałek lub, jeszcze silniej, indeksowanych strzałek.
Zapis łańcuchowy strzałek Conwaya	${\displaystyle a\to n\to 2}$	Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 2 (odpowiednik rozszerzenia powyżej), lecz także jeszcze silniej, przez wydłużenie łańcucha strzałek.
Funkcja Ackermanna	${\displaystyle {}^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3}$	Pozwala w szczególnym przypadku ${\displaystyle a=2}$ na zapis z punktu widzenia funkcji Ackermanna.
Iterowany zapis wykładniczy	${\displaystyle {}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)}$	Pozwala na łatwe rozszerzenie do iterowanych potęg dla wartości początkowych innych niż 1.
Zapis Hooshmand[5]	${\displaystyle \operatorname {uxp} _{a}n,\,a^{\frac {n}{}}}$
Zapis hiper operator	${\displaystyle a^{(4)}n,\,\operatorname {hyper} _{4}(a,n)}$	Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 4; co daje rodziny hiper operacji.
Zapis ASCII	a^^n	Ponieważ strzałka jest używana identycznie jak daszek (^), operator tetracji może zostać zapisany jako (^^).

Jeden z zapisów powyżej używa iterowanego zapisu wykładniczego, który w ogólności jest zdefiniowana następująco:

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$ gdzie „${\displaystyle a}$” występuje n razy.

Nie ma wielu zapisów dla iterowanego potęgowania, ale oto kilka z nich:

Nazwa	Forma	Opis
Standardowy	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}$	Euler stworzył zapis ${\displaystyle \exp _{a}(x)=a^{x},}$ a iteracyjny zapis ${\displaystyle f^{n}(x)}$ istnieje równie długo.
Zapis strzałkowy Knutha	${\displaystyle (a{\uparrow })^{n}(x)}$	Pozwala na superpotęgowanie i funkcje superwykładnicze przez zwiększanie liczby strzałek.
Zapis Ioannis Galidakisa	${\displaystyle {}^{n}(a,x)}$	Pozwala na duże wyrażenia w podstawie[6].
ASCII (pomocnicze)	a^^n@x	W oparciu o pogląd, że powtórzony wykładnik jest pomocniczą tetracją.
ASCII (standard)	exp_a^n(x)	Na podstawie standardowego zapisu.

Zobacz też

• Działanie dwuargumentowe
• Liczba Grahama
• Notacja strzałkowa