własność działań dwuargumentowych definiowana równością, dotycząca między innymi dodawania liczb: (a+b)+c = a+(b+c) Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Łączność, asocjatywność[1] – własność niektórych działań dwuargumentowych zdefiniowana odpowiednią równością, podaną niżej. Łączność dotyczy:
Łączność dodawania i mnożenia to twierdzenia nauczane w polskich szkołach podstawowych, umieszczone w podstawie programowej kursów matematyki[2].
W algebrze abstrakcyjnej łączność definiuje podstawowe struktury algebraiczne jak:
Równość analogiczna do tej opisującej łączność pojawia się też w definicji przestrzeni liniowych[14] i także bywa nazywana łącznością[15][16].
Nazwę łączności wprowadził William Rowan Hamilton w I połowie XIX wieku[17].
Niech symbol karo oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze Działanie to nazywa się łącznym, jeśli dla wszystkich trójek elementów zachodzi równość:
Działanie, które nie jest łączne, nazywa się niełącznym.
Łączność działania znaczy, że kolejność wykonywania obliczeń, tzn. rozstawienie nawiasów (zgodne ze składnią) nie ma wpływu na wynik. Np. dla dowolnych czterech argumentów zachodzą równości:
(1) |
W efekcie umożliwia to notację beznawiasową, tzn. każde z powyższych pięciu wyrażeń można zapisać w postaci:
W wyrażeniu tym można więc wykonać najpierw działanie wskazane przez dowolny z trzech operatorów na sąsiadujących z nim operandach, a potem wykonywać działanie wskazane przez następny, dowolnie wybrany operator na sąsiadujących z nim operandach, itd.
Najczęściej stosowana jest notacja z lewostronną łącznością (np. niełączne działania arytmetyczne), co wiąże się z powszechną praktyką zapisywania (i odczytywania) od lewej tekstu lub wyrażeń arytmetycznych, z kolejnością wprowadzania od lewej wyrażeń do kalkulatorów itd.
Jeśli działanie jest łączne, to każdy element ma względem tego działania co najwyżej jeden element odwrotny[32]:
Łączność jest niezależna od przemienności – działanie może mieć obie te własności, ale może mieć tylko jedną z nich lub nie mieć żadnej z nich[33].
Dla powyższych trzech notacji reguła pozwalająca pomijać nawiasy w wyrażeniach z działaniem łącznym nie ma zastosowania – w pierwszej nawiasy są nieusuwalne (jest to w istocie odmiana notacji przedrostkowej), w następnych dwóch nawiasy są całkowicie zbędne, należy jedynie odpowiednio zamieniać miejscami symbole działania i ich argumentów (zob. zapis działań dwuargumentowych).
Np. wyrażenia (1) w notacji przedrostkowej mają postać
W notacji wrostkowej dla działania niełącznego każde dwa argumenty (także te złożone) muszą być razem z operatorem objęte parą nawiasów (z wyjątkiem oczywiście najbardziej zewnętrznej pary argumentów). W notacji tej wszystkie nawiasy są niezbędne dla określenia kolejności wykonywanych działań. Przy większej ilości argumentów wyrażenia stają się przez to nieczytelne, np.:
(2) |
W notacji przedrostkowej powyższe wyrażenie ma postać w notacji przyrostkowej W obu tych notacjach łączność lub niełączność działania nie ma oczywiście większego znaczenia, bowiem mimo braku nawiasów kolejność wykonywania działań jest „zakodowana” w wyrażeniu i jest możliwa do odtworzenia dzięki regułom tworzenia takich wyrażeń. Brak nawiasów nieco upraszcza zapis i przyczynia się do zwiększenia czytelności.
Ilość nawiasów notacji wrostkowej można zmniejszyć (a tym samym nieco uprościć zapis), wprowadzając notację z łącznością jednostronną. Oznacza to wybór jednej z dwóch możliwych kolejności usuwania nawiasów w wyrażeniu:
Oczywiście kolejność usuwania nawiasów w notacji z jednostronną łącznością jest równoznaczne z odwrotną kolejnością ich przywracania (nawiasy domyślne). Np. wyrażenie
Stosując notację z lewostronną łącznością, wyrażenie (2) uprości się do postaci z prawostronną do postaci
Notacja z jednostronną łącznością jest więc odmianą notacji wrostkowej, w której niektóre nawiasy można pominąć. Dla każdego działania binarnego niełącznego wybór notacji z lewostronną lub prawostronną łącznością jest całkowicie dowolny i arbitralny, ale raz dokonany wybór dla danego działania musi być utrzymany dla zachowania jednoznaczności wartościowania wyrażenia. Inaczej mówiąc, działanie binarne niełączne nie jest ani lewostronnie, ani prawostronnie łączne. Stwierdzenie, że jakieś działanie jest lewo/prawostronnie łączne oznacza, że wobec tego działania stosuje się notację wrostkową odpowiednio z lewo/prawostronną łącznością.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.