Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Twierdzenie Banacha o kontrakcji, o punkcie stałym^[1][2][3], zasada Banacha^[4] – twierdzenie topologii i teorii punktu stałego, dotyczące zupełnych przestrzeni metrycznych. Mówi ono, że dowolna kontrakcja takiej przestrzeni ma dokładnie jeden punkt stały. Do treści tego twierdzenia włącza się też konstruktywny dowód pierwszego faktu – do punktu stałego zbiega dowolny ciąg wartości iteracji danej kontrakcji, zaczynający się w dowolnym miejscu.

Ilustracją twierdzenia bywa obrazowa konsekwencja: gdy mapę Polski rozłoży się gdziekolwiek na ziemi w Polsce, to dokładnie jeden punkt powierzchni gruntu leży pod swoim obrazem^[5].

Twierdzenie to opublikował Stefan Banach w 1922 roku w czasopiśmie „Fundamenta Mathematicae”, w kontekście przestrzeni Banacha^[5]. Znalazło zastosowanie w analizie matematycznej, m.in. w badaniach równań różniczkowych, całkowych i analizie numerycznej. Udowodniono też:

• uogólnienia – analogiczne własności szerszych klas funkcji;
• odwrócenia – pewne własności funkcji zdefiniowane punktami stałymi pociągają za sobą kontrakcyjność.

Treść

Jeśli ${\displaystyle (X,\rho )}$ jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś ${\displaystyle f\colon X\to X}$ jest kontrakcją, to^[2]:

• odwzorowanie ${\displaystyle f}$ ma dokładnie jeden punkt stały ${\displaystyle x_{0}}$ oraz
• dla dowolnego ${\displaystyle x\in X}$ ciąg ${\displaystyle (x,f(x),f(f(x)),\dots )}$ jest zbieżny do ${\displaystyle x_{0}.}$

Dowód

• Najłatwiej wykazać jednoznaczność punktu stałego: niech bowiem ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ będzie stałą Lipschitza kontrakcji ${\displaystyle f,}$ a ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2}}$ jej punktami stałymi. Mamy wówczas

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=\rho (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant \alpha \rho (x_{1},x_{2}),}$

${\displaystyle (1-\alpha )\rho (x_{1},x_{2})\leqslant 0,}$

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})\leqslant 0.}$

W ostatnim kroku skorzystano z ograniczeń na stałą ${\displaystyle \alpha ,}$ implikujących ${\displaystyle 1-\alpha >0.}$ Finalna nierówność zachodzi tylko dla ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=0,}$ co z definicji metryki oznacza, że ${\displaystyle x_{1}=x_{2},}$ a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.

• Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt ${\displaystyle x\in X}$ i oszacujmy odległość ${\displaystyle \rho (f^{n}(x),f^{m}(x))}$ między wartością ${\displaystyle n}$-tej i ${\displaystyle m}$-tej iteracji kontrakcji ${\displaystyle f}$ dla punktu ${\displaystyle x}$ (korzystając przy tym ${\displaystyle (|m-n|-1)}$-krotnie z nierówności trójkąta). Można wykazać, iż ciąg ${\displaystyle (x,f(x),f(f(x)),\dots )}$ jest ciągiem Cauchy’ego, a zatem ma granicę (bo ${\displaystyle X}$ jest zupełna). Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji ${\displaystyle f,}$ że jego granica jest punktem stałym przekształcenia ${\displaystyle f.\blacksquare }$

Możliwe są inne dowody tego twierdzenia, w tym niekonstruktywne^[6].

Zastosowania

Za pomocą tego twierdzenia można wykazać:

• twierdzenie o funkcji uwikłanej^[7][8],
• twierdzenie o funkcji odwrotnej,
• twierdzenie Stone’a-Weierstrassa^[7],
• istnienie atraktora układu przekształceń zwężających,
• zbieżności niektórych algorytmów numerycznych; zob. np. metoda Gaussa-Seidla.

Wykorzystuje się je też m.in. w teorii równań różniczkowych^[7][9] i całkowych^{[potrzebny przypis]}.

Uogólnienia

• W twierdzeniu nie można opuścić założenia zupełności. Istotnie, odwzorowanie ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{2}}x}$ jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni ${\displaystyle (0,1)}$ w siebie, pozbawioną punktów stałych^[6].

• Nie można też osłabić warunku kontrakcji, zastępując go zmniejszaniem odległości^[6]:

${\displaystyle \rho (f(x_{1}),f(x_{2}))<\rho (x_{1},x_{2})}$, dla różnych od siebie ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$. Funkcja ${\displaystyle x\mapsto x+{\frac {1}{x}}\colon [1,+\infty )\to [1,+\infty )}$ zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego.

• Mimo to jeśli przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałego^{[potrzebny przypis]}.

Twierdzenie zachodzi też dla funkcji:

• z kontraktywną iteracją naturalną^[7];
• spełnianiających nierówności typu

${\displaystyle \rho (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant \varphi (\rho (x_{1},x_{2})),}$

gdzie ${\displaystyle \varphi }$ jest przekształceniem przedziału ${\displaystyle [0,+\infty )}$ w siebie, mającym pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inne^[7].

Twierdzenia odwrotne

Twierdzenie Bessagi

Jeśli ${\displaystyle f\colon X\to X}$ jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze ${\displaystyle X,}$ że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to ${\displaystyle X}$ można zmetryzować w sposób zupełny tak, by ${\displaystyle f}$ było kontrakcją względem tej metryki. Stałą kontrakcji może być dowolna liczba z przedziału ${\displaystyle (0,1),}$ zadana z góry^[10].

Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; wykazał je Czesław Bessaga w 1958 roku^[10].

Twierdzenie Meyersa

Niech ${\displaystyle (X,\rho )}$ będzie zupełną przestrzenią metryczną, a ${\displaystyle f\colon X\to X}$ odwzorowaniem spełniającym następujące warunki:

1. ${\displaystyle f(x_{0})=x_{0}}$ dla pewnego ${\displaystyle x_{0}\in X,}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f^{n}(x)=x_{0}}$ dla każdego ${\displaystyle x\in X,}$
3. istnieje takie otoczenie ${\displaystyle U}$ punktu ${\displaystyle x_{0},}$ że dla dowolnego otoczenia ${\displaystyle V}$ tego punktu istnieje taki indeks ${\displaystyle n_{V},}$ że ${\displaystyle F^{n}(V)\subset U}$ dla ${\displaystyle n\geqslant n_{V}.}$

Wówczas dla dowolnej stałej ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ istnieje równoważna z ${\displaystyle \rho }$ metryka zupełna na ${\displaystyle X,}$ przy której ${\displaystyle f}$ jest kontrakcją ze stałą ${\displaystyle \alpha }$^{[potrzebny przypis]}.