Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary)

Twierdzenie Carathéodory’ego – twierdzenie teorii miary umożliwiające konstrukcję miary w oparciu o daną miarę zewnętrzną; bywa ono stosowane do konstrukcji miary Lebesgue’a z miary zewnętrznej Lebesgue’a. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Constantina Carathéodory’ego w 1914 roku^[1].

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle X}$ będzie niepustym zbiorem oraz

${\displaystyle \mu ^{*}\colon P(X)\to [0,\infty ]}$

będzie funkcją, dla której

${\displaystyle \mu ^{*}(\varnothing )=0,}$

gdzie ${\displaystyle P(X)}$ oznacza zbiór potęgowy zbioru ${\displaystyle X.}$

Mówi się, że zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ spełnia warunek Carathéodory’ego (względem ${\displaystyle \mu ^{*}}$), gdy dla każdego zbioru ${\displaystyle E\subseteq X}$ zachodzi równość

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }).}$

Wówczas rodzina ${\displaystyle C(\mu ^{*})}$ podzbiorów ${\displaystyle X,}$ które spełniają warunek Carathéodory’ego względem ${\displaystyle \mu ^{*},}$ jest algebrą zbiorów, a ${\displaystyle \mu }$ będąca zawężeniem ${\displaystyle \mu ^{*}}$ do ${\displaystyle C(\mu ^{*})}$ jest miarą skończenie addytywną (tzn. jest addytywna). Co więcej, jeśli ${\displaystyle \mu ^{*}}$ jest miarą zewnętrzną (tzn. jest również monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna), to ${\displaystyle C(\mu ^{*})}$ jest σ-algebrą oraz ${\displaystyle \mu ^{*}}$ zawężona do rodziny ${\displaystyle C(\mu ^{*})}$ jest miarą (tzn. jest przeliczalnie addytywna), która jest zupełna.

Dowód

Dowód składa się z pięciu części. Wykorzystuje on standardowe techniki, szeroko stosowane w teorii miary. Pierwsze dwa kroki mają na celu wykazanie, iż ${\displaystyle C(\mu ^{*})}$ jest algebrą, zaś ${\displaystyle \mu }$ jest addytywna; trzeci i czwarty gwarantują – przy założeniu, iż ${\displaystyle \mu ^{*}}$ jest miarą zewnętrzną – że rodzina ${\displaystyle C(\mu ^{*})}$ jest zamknięta ze względu na sumy przeliczalnie wielu zbiorów, a ${\displaystyle \mu ^{*}}$ jest σ-addytywna, tzn. ${\displaystyle C(\mu ^{*})}$ jest σ-algebrą, a ${\displaystyle \mu }$ określoną na niej miarą. W ostatnim kroku dowodzi się zupełności miary ${\displaystyle \mu .}$

Algebra

Należenie zbioru pustego

Zbiór pusty spełnia warunek Carathéodory’ego, ponieważ z założenia ${\displaystyle \mu ^{*}(\varnothing )=0}$ oraz

${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap \varnothing )+\mu ^{*}(E\cap X)=\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E)}$

dla każdego ${\displaystyle E}$ zawartego w ${\displaystyle X.}$

Zamkniętość ze względu na dopełnienia

Warunek Carathéodory’ego jest niezmienniczy względem brania dopełnienia, tzn. jeśli ${\displaystyle A}$ spełnia warunek Carathéodory’ego, to spełnia go również ${\displaystyle A^{c}.}$

Zamkniętość ze względu na sumy skończone

Niech ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle B}$ należą do ${\displaystyle C(\mu ^{*})}$ oraz ${\displaystyle E}$ będzie dowolnym podzbiorem ${\displaystyle X.}$ Zachodzą równości

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} })}$

oraz

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }\cap B)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }\cap B^{\operatorname {c} }).}$

Z tożsamości ${\displaystyle E\cap A=E\cap (A\cup B)\cap A}$ oraz ${\displaystyle E\cap A^{c}\cap B=E\cap (A\cup B)\cap A^{c}}$ oraz założenia, że ${\displaystyle A}$ spełnia warunek Carathéodory’ego wynika, iż

${\displaystyle \mu ^{*}{\big (}E\cap (A\cup B){\big )}=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }\cap B),}$

skąd

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}{\big (}E\cap (A\cup B){\big )}+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }\cap B^{\operatorname {c} })=\mu ^{*}{\big (}E\cap (A\cup B){\big )}+\mu ^{*}{\big (}E\cap (A\cup B)^{\operatorname {c} }{\big )}.}$

Dowodzi to, że ${\displaystyle A\cup B}$ spełnia warunek Carathéodory’ego, a zatem należy do ${\displaystyle C(\mu ^{*}).}$

Addytywność zawężenia

Dla danych zbiorów rozłącznych ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ należących do ${\displaystyle C(\mu ^{*})}$ zachodzi równość

${\displaystyle \mu ^{*}(A\cup B)=\mu ^{*}{\big (}(A\cup B)\cap A{\big )}+\mu ^{*}{\big (}(A\cup B)\cap A^{\operatorname {c} }{\big )}=\mu ^{*}(A)+\mu ^{*}(B).}$

Pokazuje to, że zawężenie ${\displaystyle \mu ^{*}}$ do rodziny ${\displaystyle C(\mu ^{*})}$ jest addytywną funkcją zbiorów.

σ-algebra

Niżej zakłada się, że ${\displaystyle \mu ^{*}}$ jest miarą zewnętrzną.

Niech ${\displaystyle (C_{i})}$ będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do ${\displaystyle C(\mu ^{*})}$ oraz niech ${\displaystyle E}$ będzie dowolnym podzbiorem zbioru ${\displaystyle X.}$ Utwórzmy przeliczalne rodziny ${\displaystyle (A_{i}),}$ ${\displaystyle (B_{i})}$ następująco:

${\displaystyle A_{1}=C_{1},\quad C_{n}=A_{n}\setminus {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}{\Big )}\quad {\text{dla }}n=2,3,4,\dots }$

${\displaystyle B_{n}=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},}$

oraz wprowadźmy oznaczenie

${\displaystyle B:=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$

Zbiory ${\displaystyle A_{n}}$ są parami rozłączne i zachodzi oczywista równość

${\displaystyle B=\bigcup _{i=1}^{\infty }C_{i}.}$

Dla każdego ${\displaystyle n}$ zachodzi inkluzja ${\displaystyle B_{n}\subseteq B,}$ skąd ${\displaystyle B_{n}^{c}\supseteq B^{c}.}$ Korzystając z monotoniczności ${\displaystyle \mu ^{*},}$ otrzymujemy oszacowanie

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap B_{n})+\mu ^{*}(E\cap B_{n}^{\operatorname {c} })\geqslant \mu ^{*}(E\cap B_{n})+\mu ^{*}(E\cap B^{\operatorname {c} }).}$

Z faktu, że każdy zbiór ${\displaystyle A_{n}}$ spełnia warunek Carathéodory’ego, wnioskujemy, że dla ${\displaystyle n\geqslant 2}$ prawdziwa jest tożsamość

${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap B_{n})=\mu ^{*}(E\cap A_{n})+\mu ^{*}(E\cap B_{n-1}).}$

Na mocy zasady indukcji matematycznej, równość

${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap B_{n})=\sum _{i=1}^{n}\mu ^{*}(E\cap A_{i})}$

zachodzi dla wszystkich ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Ostatecznie,

${\displaystyle \mu ^{*}(E)\geqslant \sum _{i=1}^{n}\mu ^{*}(E\cap A_{i})+\mu ^{*}(E\cap B^{\operatorname {c} })\quad (n\in \mathbb {N} ).}$

Wykonując przejście graniczne, otrzymujemy oszacowanie

${\displaystyle \mu ^{*}(E)\geqslant \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(E\cap A_{i})+\mu ^{*}(E\cap B^{\operatorname {c} }).}$

Z przeliczalnej podaddytywności ${\displaystyle \mu ^{*}}$ wynika nierówność

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(E\cap A_{i})\geqslant \mu ^{*}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }(E\cap A_{i})\right)=\mu ^{*}(E\cap B).}$

Łącząc otrzymane związki i korzystając ponownie z przeliczalnej podaddytywności ${\displaystyle \mu ^{*},}$ uzyskujemy zależność

${\displaystyle \mu ^{*}(E)\geqslant \mu ^{*}(E\cap B)+\mu ^{*}(E\cap B^{\operatorname {c} })\geqslant \mu ^{*}{\big (}(E\cap B)\cup (E\cap B^{\operatorname {c} }){\big )}=\mu ^{*}(E).}$

Miara

Niżej zakłada się, że ${\displaystyle \mu ^{*}}$ jest miarą zewnętrzną.

Niech ${\displaystyle (A_{i})}$ będzie przeliczalną rodziną parami rozłącznych zbiorów należących do ${\displaystyle C(\mu ^{*}).}$ Niech ponadto ${\displaystyle B}$ będzie sumą wszystkich zbiorów ${\displaystyle A_{i}.}$ Z addytywności i monotoniczności ${\displaystyle \mu ^{*}}$ wynika, że dla dowolnego ${\displaystyle n}$ zachodzi równość

${\displaystyle \mu ^{*}(A_{1})+\ldots +\mu ^{*}(A_{n})=\mu ^{*}(A_{1}\cup \ldots \cup A_{n})\leqslant \mu ^{*}(B).}$

Wykonując przejście graniczne, otrzymujemy oszacowanie

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{i})\leqslant \mu ^{*}(B).}$

Przeliczalna podaddytywność ${\displaystyle \mu ^{*}}$ daje nierówność w drugą stronę.

Zupełność

Niżej zakłada się, że ${\displaystyle \mu ^{*}}$ jest miarą zewnętrzną.

Należy wykazać, że każdy podzbiór ${\displaystyle A}$ zbioru ${\displaystyle X}$ spełniający warunek ${\displaystyle \mu ^{*}(A)=0}$ należy do ${\displaystyle C(\mu ^{*}).}$ Niech ${\displaystyle E}$ będzie dowolnym podzbiorem zbioru ${\displaystyle X.}$ Wówczas

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}{\big (}(E\cap A)\cup (E\cap A^{\operatorname {c} }){\big )}\leqslant \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} })\leqslant \mu ^{*}(A)+\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E).}$

Niech ${\displaystyle Z}$ będzie podzbiorem zbioru ${\displaystyle X}$ spełniającym warunek ${\displaystyle \mu ^{*}(Z)=0}$ oraz niech ${\displaystyle A}$ będzie dowolnym podzbiorem zbioru ${\displaystyle Z.}$ Z monotoniczności ${\displaystyle \mu ^{*}}$ wynika, że ${\displaystyle 0\leqslant \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(Z)=0,}$ a więc ${\displaystyle \mu ^{*}(A)=0.}$ Ostatecznie, ${\displaystyle A}$ należy do rodziny ${\displaystyle C(\mu ^{*}).}$

Zobacz też

• twierdzenie Hahna-Kołmogorowa