Dopełnienie zbioru

Dopełnienie zbioru, uzupełnienie zbioru^[1][2][3][4] – zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą^[5].

Diagram Venna: ${\displaystyle A^{c}}$ jest dopełnieniem ${\displaystyle A}$ względem ${\displaystyle U.}$

Definicja formalna

Niech dany będzie zbiór ${\displaystyle U,}$ zwany dalej przestrzenią^[1][2][4][6], zbiorem uniwersalnym^[4] lub uniwersum^[4], oraz jego podzbiór ${\displaystyle A\subseteq U.}$ Dopełnieniem zbioru ${\displaystyle A}$ nazywa się różnicę

${\displaystyle U\setminus A=\{x\in U\colon x\notin A\},}$

oznaczaną zwykle symbolem ${\displaystyle A'}$^[1][2][3][6] lub ${\displaystyle A^{\operatorname {c} }}$^[2][4], a w starszych pozycjach także ${\displaystyle \complement _{U}A}$ lub, jeśli ${\displaystyle U}$ jest znane, krótko ${\displaystyle \complement A}$ (litera „c” w niektórych oznaczeniach pochodzi od ang. complement, dopełniać).

Niekiedy spotyka się również oznaczenie ${\displaystyle -A}$^[6], jednak jeżeli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem, na którym określono pewną (addytywną) strukturę algebraiczną, to ${\displaystyle -A}$ może oznaczać wtedy ${\displaystyle \{-a\colon a\in A\}.}$

• Z definicji wynika, że dopełnienie zbioru zależy od wyboru przestrzeni.
• Korzystając z pojęcia dopełnienia zbiorów, różnicę zbiorów ${\displaystyle A,B\subseteq U}$ można zapisać w postaci:

${\displaystyle A\setminus B=A\cap B'.}$

Własności

Dla dowolnego uniwersum ${\displaystyle U}$ prawdziwe są równości

${\displaystyle \varnothing '=U,\quad U'=\varnothing .}$

Dla ustalonego ${\displaystyle U}$ i dowolnego ${\displaystyle A\subseteq U}$ zachodzi

${\displaystyle (A')'=A,}$

co oznacza, że operacja dopełnienia jest inwolucją.

Prawdą jest też, iż zbiór i jego dopełnienie są rozłączne,

${\displaystyle A\cap A'=\varnothing ,}$

a ich suma daje całe uniwersum,

${\displaystyle A\cup A'=U,}$

co oznacza, że ${\displaystyle \{A,A'\}}$ jest rozbiciem zbioru ${\displaystyle U.}$

Dla danych ${\displaystyle A,B\subseteq U}$ zachodzą prawa de Morgana^[7]:

${\displaystyle (A\cup B)'=A'\cap B',}$

${\displaystyle (A\cap B)'=A'\cup B'.}$

Dodatkowo

${\displaystyle B=A'}$ pociąga ${\displaystyle B'=A.}$

Przykłady

• Dopełnieniem zbioru ${\displaystyle \{1,2\}}$ w zbiorze ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ jest zbiór ${\displaystyle \{3\}.}$
• Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych.
• Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn.
• Dopełnieniem zbioru ${\displaystyle \{0,1,2\}}$ w przestrzeni liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych większych od ${\displaystyle 2,}$ natomiast w przestrzeni ${\displaystyle \{-1,0,1,2,3,4,5\}}$ jest to zbiór ${\displaystyle \{-1,3,4,5\}.}$