Dopełnienie zbioru

Dopełnienie zbioru, uzupełnienie zbioru^[1][2][3][4] – zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą^[5].

Diagram Venna: ${\displaystyle A^{c}}$ jest dopełnieniem ${\displaystyle A}$ względem ${\displaystyle U.}$

Definicja formalna

Niech dany będzie zbiór ${\displaystyle U,}$ zwany dalej przestrzenią^[1][2][4][6], zbiorem uniwersalnym^[4] lub uniwersum^[4], oraz jego podzbiór ${\displaystyle A\subseteq U.}$ Dopełnieniem zbioru ${\displaystyle A}$ nazywa się różnicę

${\displaystyle U\setminus A=\{x\in U\colon x\notin A\},}$

oznaczaną zwykle symbolem ${\displaystyle A'}$^[1][2][3][6] lub ${\displaystyle A^{\operatorname {c} }}$^[2][4], a w starszych pozycjach także ${\displaystyle \complement _{U}A}$ lub, jeśli ${\displaystyle U}$ jest znane, krótko ${\displaystyle \complement A}$ (litera „c” w niektórych oznaczeniach pochodzi od ang. complement, dopełniać).

Niekiedy spotyka się również oznaczenie ${\displaystyle -A}$^[6], jednak jeżeli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem, na którym określono pewną (addytywną) strukturę algebraiczną, to ${\displaystyle -A}$ może oznaczać wtedy ${\displaystyle \{-a\colon a\in A\}.}$

• Z definicji wynika, że dopełnienie zbioru zależy od wyboru przestrzeni.
• Korzystając z pojęcia dopełnienia zbiorów, różnicę zbiorów ${\displaystyle A,B\subseteq U}$ można zapisać w postaci:

${\displaystyle A\setminus B=A\cap B'.}$

Własności

Dla dowolnego uniwersum ${\displaystyle U}$ prawdziwe są równości

${\displaystyle \varnothing '=U,\quad U'=\varnothing .}$

Dla ustalonego ${\displaystyle U}$ i dowolnego ${\displaystyle A\subseteq U}$ zachodzi

${\displaystyle (A')'=A,}$

co oznacza, że operacja dopełnienia jest inwolucją.

Prawdą jest też, iż zbiór i jego dopełnienie są rozłączne,

${\displaystyle A\cap A'=\varnothing ,}$

a ich suma daje całe uniwersum,

${\displaystyle A\cup A'=U,}$

co oznacza, że ${\displaystyle \{A,A'\}}$ jest rozbiciem zbioru ${\displaystyle U.}$

Dla danych ${\displaystyle A,B\subseteq U}$ zachodzą prawa de Morgana^[7]:

${\displaystyle (A\cup B)'=A'\cap B',}$

${\displaystyle (A\cap B)'=A'\cup B'.}$

Dodatkowo

${\displaystyle B=A'}$ pociąga ${\displaystyle B'=A.}$

Przykłady

• Dopełnieniem zbioru ${\displaystyle \{1,2\}}$ w zbiorze ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ jest zbiór ${\displaystyle \{3\}.}$
• Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych.
• Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn.
• Dopełnieniem zbioru ${\displaystyle \{0,1,2\}}$ w przestrzeni liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych większych od ${\displaystyle 2,}$ natomiast w przestrzeni ${\displaystyle \{-1,0,1,2,3,4,5\}}$ jest to zbiór ${\displaystyle \{-1,3,4,5\}.}$

Przypisy

Zobacz hasło dopełnienie w Wikisłowniku

1. Rozdział I (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 18. [dostęp 2008-12-30].
2. Kazimierz Kuratowski, Ryszard Engelking: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, s. 16,17. ISBN 83-01-14215-4.
3. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 15. ISBN 83-01-14415-7.
4. Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996, s. 27–31. ISBN 83-01-12129-7.
5. dopełnienie zbioru, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-09-06].
6. Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe, 1975, s. 19.
7. Angielski logik Augustus De Morgan odkrył przedstawione prawa rachunku zbiorów. Analogiczne prawa rachunku zdań sformułowano później, ale zwykło się je nazywać również nazwiskiem de Morgana Rozdział IV. Algebra zbiorów i relacji (pdf). W: Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. T. 18. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1948, s. 100. [dostęp 2008-12-30].

Encyklopedie internetowe (działanie jednoargumentowe):

• Britannica: topic/complement-set-theory
• БРЭ: 3490828
• Catalana: 0170240