Najlepsze pytania
Chronologia
Czat
Perspektywa

Funkcja addytywna (algebra)

homomorfizm struktur addytywnych Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Remove ads

Funkcja addytywnafunkcja, która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.

Remove ads

Definicje

Niech oraz będą grupami abelowymi.

  • Powiemy, że funkcja jest addytywna jeśli
dla wszystkich
O addytywnych funkcjach rzeczywistych mówimy też, że spełniają równanie funkcyjne Cauchy’ego.
  • Jeśli grupa jest grupą liniowo uporządkowaną przez relację to funkcję nazwiemy podaddytywną jeśli
dla wszystkich
Powyższe pojęcie jest rozważane głównie gdy jest grupą addytywną liczb rzeczywistych (z naturalnym porządkiem).
Remove ads

Własności

Podsumowanie
Perspektywa

Poniżej, mówiąc o funkcjach addytywnych myślimy o addytywności w sensie homomorfizmów grup addytywnych.

  • Z zasady indukcji matematycznej można wnioskować, iż dla każdej addytywnej funkcji zachodzi
dla wszystkich

Stąd też, powyższą własność nazywa się skończoną addytywnością, a funkcje addytywne nazywamy też funkcjami skończenie addytywnymi.

  • Załóżmy, że funkcja addytywna spełnia jeden z następujących warunków:
(a) jest ciągła w przynajmniej jednym punkcie lub
(b) jest monotoniczna na pewnym przedziale lub
(c) jest ograniczona na pewnym przedziale.
Wówczas dla wszystkich (to znaczy, jest funkcją jednorodną).

Pierwszy wynik powyższej postaci był uzyskany przez Augustina Cauchy’ego[1].

  • W 1905, Georg Hamel[2] udowodnił, że jeśli założymy AC, to istnieją funkcje addytywne które nie są ciągłe.
Remove ads

Zobacz też

Przypisy

Linki zewnętrzne

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads