Twierdzenie Fubiniego

Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary; pozwala zastępować całki wielokrotne całkami pojedynczymi, tj. z funkcji jednej zmiennej^[1].

W pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że ${\displaystyle f:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb {R} }}$ jest funkcją ciągłą. Wówczas

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left(\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int \limits _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dxdy.}$

Wszystkie znaki całki odnoszą się do odpowiednich całek Riemanna.

Postać ogólna twierdzenia

Niech ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ i ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},\nu )}$ będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech ${\displaystyle \lambda =\mu \otimes \nu }$ będzie miarą produktową.

• Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja ${\displaystyle h:X\times Y\longrightarrow {\mathbb {R} }}$ jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:

(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),

(b) jeśli dla ${\displaystyle x\in X}$ położymy ${\displaystyle f(x)=\int \limits _{Y}h(x,y)d\nu ,}$ a dla ${\displaystyle y\in Y}$ określimy ${\displaystyle g(y)=\int \limits _{X}h(x,y)d\mu ,}$ to otrzymane funkcje ${\displaystyle f:X\longrightarrow {\mathbb {R} }}$ i ${\displaystyle g:Y\longrightarrow {\mathbb {R} }}$ są całkowalne (odpowiednio względem μ i ν) oraz

${\displaystyle \int \limits _{X\times Y}h\ d\lambda =\int \limits _{X}f\ d\mu =\int \limits _{Y}g\ d\nu .}$

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

• Przypuśćmy, że ${\displaystyle E\subseteq X\times Y}$ jest zbiorem mierzalnym (tzn. ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}}}$). Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) ${\displaystyle \lambda (E)=0,}$

(ii) ${\displaystyle \mu \left(\left\{x\in X:\nu (\{y\in Y:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0,}$

(iii) ${\displaystyle \nu \left(\left\{y\in Y:\mu (\{x\in X:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0.}$

Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.

Przykłady

Zastosowanie do obliczenia całki Gaussa

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}$

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

${\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\mathrm {d} x.}$

Gdyby było wiadomo, że całka

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x}$

jest bezwzględnie zbieżna, to jej wartość byłaby równa granicy

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)}$

tj. całce

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x.}$

Jest tak istotnie, zważywszy na oszacowanie

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|e^{-x^{2}}|\,\mathrm {d} x<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x+\int _{-1}^{1}e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x+\int _{1}^{\infty }xe^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

Podnosząc ${\displaystyle I(a)}$ do kwadratu otrzymujemy

${\displaystyle {\begin{aligned}I(a)^{2}&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,\mathrm {d} y\right)\\&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,\mathrm {d} y\right)\,e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$

Z twierdzenia Fubiniego wynika zatem, że powyższa całka równa jest całce

${\displaystyle \iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} (x,y),}$

tj. całce, której obszarem całkowania jest kwadrat o wierzchołkach {(–a, a), (a, a), (a, –a), (–a, –a)}.

Z nieujemności funkcji potęgowej wynika, że całka z funkcji ${\displaystyle e^{-(x^{2}+y^{2})}}$ po dowolnym kole zawartym w kwadracie ${\displaystyle [-a,a]\times [-a,a]}$ nie przekracza całki z tej funkcji po rzeczonym kwadracie. Stosując współrzędne biegunowe:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}}$

${\displaystyle d(x,y)=|J(r,\theta )|\mathrm {d} (r,\theta )=r\,\mathrm {d} (r,\theta ).}$

do całek po kołach otrzymujemy nierówność

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}$

Odcałkowując, otrzymujemy oszacowanie:

${\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})<I^{2}(a)<\pi (1-e^{-2a^{2}}).}$

Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika zatem, że

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}.}$

Funkcja niecałkowalna

Rozważmy całki

${\displaystyle A=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy\,dx}$ oraz ${\displaystyle B=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dx\,dy.}$

Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać, że ${\displaystyle A=-B.}$ Pokażemy, że ${\displaystyle A\neq 0,}$ a więc także ${\displaystyle A\neq B.}$

Do obliczenia całki

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy}$

użyjemy podstawienia trygonometrycznego ${\displaystyle y=x\operatorname {tg} (\theta ).}$ Tak więc

${\displaystyle dy=x\sec ^{2}(\theta )\,d\theta }$ oraz ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}+x^{2}\operatorname {tg} ^{2}(\theta )=x^{2}(1+\operatorname {tg} ^{2}(\theta ))=x^{2}\sec ^{2}(\theta ).}$

Granice całkowania ${\displaystyle 0\leqslant y\leqslant 1}$ dają nam ${\displaystyle 0\leqslant x\operatorname {tg} (\theta )\leqslant 1,}$ czyli ${\displaystyle 0\leqslant \operatorname {tg} (\theta )\leqslant 1/x,}$ a stąd ${\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant \arctan(1/x).}$ Zatem

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy=}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}{\frac {x^{2}(1-\operatorname {tg} ^{2}(\theta ))}{(x^{2}\sec ^{2}(\theta ))^{2}}}x\sec ^{2}(\theta )\,d\theta ={\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}{\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}(\theta )}{\sec ^{2}(\theta )}}\,d\theta }$

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\,d\theta ={\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}\cos(2\theta )\,d\theta ={\frac {1}{x}}\left[{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\right]_{\theta$ :=0}^{\theta =\arctan(1/x)}}

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\left[\sin(\theta )\cos(\theta )\right]_{\theta$ :=0}^{\theta =\arctan(1/x)}={\frac {1}{x}}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x)).}

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

${\displaystyle \sin(\arctan(1/x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$ oraz ${\displaystyle \cos(\arctan(1/x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$

Zatem

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy={\frac {1}{x}}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x))={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

${\displaystyle A=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy\,dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\left[\arctan(x)\right]_{0}^{1}=\arctan(1)-\arctan(0)={\frac {\pi }{4}}.}$

Tak więc

${\displaystyle A=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy\,dx={\frac {\pi }{4}}}$ oraz ${\displaystyle B=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dx\,dy=-{\frac {\pi }{4}}.}$

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji ${\displaystyle f:[0,1]\times [0,1]\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {R} }:(x,y)\mapsto {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}.}$ Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue’a). I rzeczywiście,

${\displaystyle \int \limits _{[[0,1]\times [0,1]}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\,d(x,y)=\infty .}$

Zobacz też

• lemat Fatou
• twierdzenie Fichtenholza-Lichtensteina
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej