Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Кольца Борромео[2] — зацепление, состоящее из трёх топологических окружностей, которые сцеплены и образуют брунново зацепление (то есть удаление любого кольца приведёт к разъединению двух оставшихся колец). Другими словами, никакие два из трёх колец не сцеплены, как в зацеплении Хопфа, тем не менее, все вместе они сцеплены.
Кольца Борромео | |
---|---|
Обозначения | |
Конвея | [.1] |
Александера–Бриггса[англ.] | 632 |
Многочлены | |
Джонса | |
Инварианты | |
Длина косы | 6 |
Число нитей | 3 |
Число пересечений | 6 |
Гиперболический объём | 7.327724753 |
Число отрезков | 9 |
Число развязывания | 2 |
Свойства | |
Зацепление альтернированное, гиперболическое | |
Медиафайлы на Викискладе |
Несмотря на кажущуюся из иллюстраций естественность колец Борромео, из геометрически идеальных окружностей такое зацепление сделать невозможно[3]. Также это можно увидеть, рассмотрев диаграмму узла: если предположить, что окружности 1 и 2 касаются в двух точках пересечения, то они лежат либо в одной плоскости, либо на сфере. В обоих случаях третья окружность должна пересекать эту плоскость или сферу в четырёх точках и не лежать на ней, что невозможно[4].
В то же время подобное зацепление можно осуществить с помощью эллипсов, причём Эксцентриситет этих эллипсов можно сделать сколь угодно малым. По этой причине тонкие кольца, сделанные из гибкой проволоки, можно использовать как кольца Борромео.
В теории узлов кольца Борромео являются простейшим примером бруннова зацепления — хотя любая пара колец не сцеплена, их нельзя расцепить.
Простейший способ это доказать — рассмотреть фундаментальную группу дополнения двух несцеплённых окружностей; по теореме Зейферта — ван Кампена это свободная группа с двумя образующими, a и b, а тогда третьему циклу соответствует класс коммутатора, [a, b] = aba−1b−1, что можно видеть из диаграммы зацепления. Этот коммутатор нетривиален в фундаментальной группе, а потому кольца Борромео сцеплены.
В арифметической топологии[англ.] существует аналогия между узлами и простыми числами, позволяющая прослеживать связи простых чисел. Тройка простых чисел (13, 61, 937) является связанной по модулю 2 (её символ Редеи[англ.] равен −1), но попарно по модулю 2 эти числа не связаны (все символы Лежандра равны 1). Такие простые называются «правильными тройками Борромео по модулю 2»[5] или «простыми Борромео по модулю 2».[6]
Кольца Борромео являются примером гиперболического сцепления[англ.] — дополнение колец Борромео в 3-сфере допускает полную гиперболическую[англ.] метрику с конечным объёмом. Каноническое разложение (Эпштейна — Пеннера) дополнения состоит из двух правильных октаэдров. Гиперболический объём равен 16Л(π/4) = 7.32772…, где Л — функция Лобачевского[англ.].[7]
Если рассечь кольца Борромео, получим одну итерацию обычного плетения косы. Обратно, если связать концы (одной итерации) обычной косы, получим кольца Борромео. Удаление одного кольца освобождает оставшихся два, и удаление одной ленты из косы освобождает две другие — они являются простейшими брунновым зацеплением и брунновой косой[англ.]* соответственно.
В стандартной диаграмме зацепления кольца Борромео упорядочены в циклическом порядке. Если использовать цвета, как выше, красное будет лежать над зелёным, зелёное над синим, синее над красным, и при удалении одного из колец одно из оставшихся будет лежать над другим и они окажутся незацеплёнными. Так же и с косой: каждая лента лежит над второй и под третьей.
Название «кольца Борромео» появилось из-за их использования на гербе аристократической семьи Борромео в северной Италии. Зацепление много старше и появлялось в виде валькнута на картинных камнях викингов, которые датируются седьмым веком.
Кольца Борромео использовались в различных контекстах, таких как религия и искусство, для того чтобы показать силу единства. В частности кольца использовались как символ Троицы. Известно, что психоаналитик Жак Лакан нашёл вдохновение в кольцах Борромео как модели топологии человеческой личности, в которой каждое кольцо представляет фундаментальный компонент реальности («действительное», «воображаемое» и «символическое»).
В 2006 году Международный математический союз принял решение использовать логотип, основанный на кольцах Борромео, для XXV международного конгресса математиков в Мадриде, Испания[8].
Каменный столб в храме Марундиисварар[англ.] в Ченнаи, Тамилнад, Индия, датируемый шестым веком, содержит такую фигуру[9][10].
Известно много визуальных знаков, относящихся к средним векам и временам ренессанса, состоящих из трёх элементов, сцеплённых друг с другом тем же способом, что и кольца Борромео (в их общепринятом двумерном представлении), но индивидуальные элементы при этом не представляют замкнутых колец. Примерами таких символов служат рога на камне Snoldelev[англ.] и полумесяцы Дианы де Пуатье. Примером знака с тремя различными элементами служит эмблема клуба Интернасьонал. Хоть и в меньшей степени, к этим символам относятся ганкиил[англ.] и диаграмма Венна из трёх элементов.
Также узел «обезьяний кулак», по существу, является трёхмерным представлением колец Борромео, хотя узел состоит из трёх уровней.
Некоторые соединения в теории узлов содержат множественные конфигурации колец Борромео. Одно соединение такого типа, состоящее из пяти колец, используется в качестве символа в дискордианизме, основанное на изображении из книги «Принципия Дискордия».
Молекулярные кольца Борромео — молекулярные аналоги колец Борромео, которые являются механически сцеплёнными молекулярными структурами[англ.]. В 1997 году биолог Мао Чэндэ (Chengde Mao) с соавторами из Нью-Йоркского университета успешно сконструировали кольца из ДНК[11]. В 2003 году химик Фрейзер Стоддарт с соавторами из Калифорнийского университета, использовали комплексные соединения для построения набора колец из 18 компонентов за одну операцию[12].
Квантово-механический аналог колец Борромео называется ореолом или состоянием Ефимова (существование таких состояний было предсказано физиком Виталием Николаевичем Ефимовым в 1970 году). В 2006 году исследовательская группа Рудольфа Грима и Ганса-Кристофа Нэгерля из Института экспериментальной физики Инсбрукского университета (Австрия) экспериментально подтвердила существование таких состояний в ультрахолодном газе атомов цезия и опубликовала открытие в научном журнале Nature[13]. Группа физиков под руководством Рандалла Хулета (Randall Hulet) в университете Райса в Хьюстоне получили тот же самый результат с помощью трёх связанных атомов лития и опубликовали своё открытие в журнале Science Express[14]. В 2010 году группа под управлением К. Танака получила состояние Ефимова с нейтронами (нейтронный ореол)[15].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.