Loading AI tools
Переменная, численно выражающая исход случайного события. Из Википедии, свободной энциклопедии
Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей.[1] Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией , значения которой численно выражают исходы случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из в [2].
Как функция, случайная величина не является вероятностью наступления события , а возвращает численное выражение исхода . Важными характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия[3].
Примером объектов, для представления состояния которых требуется применение случайных величин, являются микроскопические объекты, описываемые квантовой механикой. Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя). К случайным относятся события радиоактивного распада ядер атомов.[1]
Существует ряд задач математического анализа и теории чисел, для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины, определённые на подходящих вероятностных пространствах[4].
Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была чётко осознана П. Л. Чебышёвым, который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867)[5]. Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933)[6], после которого стало ясным, что случайная величина представляет собой измеримую функцию, определённую на вероятностном пространстве. В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером (см. предисловие к[7], где изложение строится на основе понятия пространства элементарных событий и подчёркивается, что лишь в этом случае представление случайной величины становится содержательным).
Формальное математическое определение следующее: пусть — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением.
Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом[8]. Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел и множество таких событий , что , принадлежит .
Задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения равна вероятности того, что значение случайной величины меньше вещественного числа . Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна . Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.
Другим способом задания случайной величины является функциональное преобразование случайной величины . Если — борелевская функция, то также является случайной величиной. Например, если — стандартная нормальная случайная величина, то случайная величина имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера, распределение Стьюдента являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.
Если случайная величина дискретная, то есть мощность множества не более чем счётно, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием функции вероятностей всех возможных значений этой случайной величины. В качестве примера рассмотрим биномиальный и пуассоновский законы распределения.
Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью , «неудача» — с вероятностью . Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:
Если при стремлении к бесконечности произведение остаётся равной константе , то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:
где
Математическим ожиданием или средним значением случайной величины в линейном нормированном пространстве X в вероятностном пространстве называется интеграл
(в предположении, что функция является интегрируемой).
Дисперсией случайной величины называется величина, равная:
В статистике для дисперсии часто употребляется обозначение или . Величина , равная
называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.
Ковариацией случайных величин и называется следующая величина:
(предполагается, что математические ожидания определены).
Если = 0, то случайные величины и называются не коррелированными. Независимые случайные величины всегда некоррелированы, однако обратное неверно[9].
Функция концентрации величины называется функция , заданная на неотрицательной полуоси следующим образом:
Если — борелевская функция, а — случайная величина, то ее функциональное преобразование также является случайной величиной. Например, если — стандартная нормальная случайная величина, случайная величина имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера и распределение Стьюдента, являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.
Если и с совместным распределением , а — некоторая борелевская функция, то для справедливо[10]:
Если , и независимы, то . Применяя теорему Фубини, получаем:
и аналогично:
Если и функции распределения, то функцию
называют свёрткой и и обозначают .
Характеристическая функция суммы независимых случайных величин и является преобразованием Фурье свёртки функций распределения и и равна произведения характеристических функций и :
Примерами дискретной случайной величины могут служить показания спидометра или измерения температуры в конкретные моменты времени[11].
Все возможные исходы подбрасывания монеты могут быть описаны пространством элементарных событий орёл, решка или кратко . Пусть случайная величина равна выигрышу в результате подбрасывания монеты. Пусть выигрыш будет 10 рублей каждый раз, когда монета выпадает орлом, и −33 рубля при выпадении решки. Математически эту функцию выигрыша можно представить так:
Если монета идеальная, то выигрыш будет иметь вероятность, заданную как:
Случайная величина также может быть использована для описания процесса бросания игральных костей, а также для расчёта вероятности конкретного исхода таких бросков. В одном из классических примеров данного эксперимента используются две игральные кости и , каждая из которых может принимать значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (количество очков на сторонах костей). Общее количество очков выпавших на костях и будет значением нашей случайной величины , которая задаётся функцией:
и (если кости идеальные) функция вероятности для задаётся через:
Пусть экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт. Тогда будет представлять одну из вытянутых карт; здесь не число, а карта — физический объект, название которого обозначается через символ . Тогда функция , принимая в качестве аргумента «название» объекта, вернёт число, с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту . Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Треф, то есть , тогда после подставления этого исхода в функцию , мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом эти операции проводить было нельзя.
Другой класс случайных величин — такие, для которых существует неотрицательная функция , удовлетворяющая при любых равенству . Случайные величины, удовлетворяющие этому свойству называются абсолютно непрерывными, а функция называется плотностью распределения вероятностей.
Число возможных значений абсолютно непрерывной случайной величины бесконечно. Пример абсолютно непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.[11]
Пусть в одном из экспериментов нужно случайным образом выбрать одного человека (обозначим его как ) из группы испытуемых, пусть тогда случайная величина выражает рост выбранного нами человека. В этом случае, с математической точки зрения, случайная величина интерпретируется как функция , которая трансформирует каждого испытуемого в число — его рост . Для того чтобы рассчитать вероятность того, что рост человека попадёт в промежуток между 180 см и 190 см, или вероятность того, что его рост будет выше 150 см, нужно знать распределение вероятности , которое в совокупности с и позволяет рассчитывать вероятности тех или иных исходов случайных экспериментов.
Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.