Вещественнозначная функция

Вещественнозначная функция — функция, значениями которой являются вещественные числа. Другими словами, это функция, которая назначает вещественное число каждому элементу области определения функции.

Масса, измеренная в граммах, является функцией от такого набора гирь с положительнымм вещественными числами. Термин «весовая функция», являющийся косвенным указанием на этот пример, используется в чистой и прикладной математике.

Вещественнозначные функции вещественной переменной^[англ.] (обычно называемые вещественными функциями) и вещественнозначные функции нескольких вещественных переменных^[англ.] являются основным объектом изучения в математическом анализе и, более конкретно, в теории функций вещественной переменной. В частности, многие функциональные пространства^[англ.] состоят из вещественнозначных функций.

Алгебраическая структура

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ обозначает множество всех функций, отображающих множество X в вещественные числа ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Поскольку ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является полем, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ может быть превращено в векторное пространство с коммутативной алгеброй со следующими операциями:

• ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$ — сложение векторов
• ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$ — нулевой элемент
• ${\displaystyle cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R} }$ – скаляр
• ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$ — поточечное умножение.

Эти операции распространяются на частично определённые функции^[англ.] из X в ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ с ограничением, что частично определённые функции ${\displaystyle f+g}$ и ${\displaystyle fg}$ определены только в случае, когда области определения f и g имеют непустое пересечение. В этом случае областью определения этих функций служит пересечение областей определения f и g.

Также, поскольку ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является упорядоченным множеством, имеется частичное упорядочение:

${\displaystyle \ f\leqslant g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leqslant g(x)}$

в ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$, что делает ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ частично упорядоченным кольцом.

Измеримость

См. также: Борелевская функция

${\displaystyle \sigma }$-алгебра борелевских множеств является важной структурой на вещественных числах. Если X имеет ${\displaystyle \sigma }$-алгебру и функция f такова, что прообраз f ⁻¹(B) любого борелевского множества B принадлежит этой ${\displaystyle \sigma }$-алгебре, то говорят, что функция f измеримая. Измеримые функции образуют также векторное пространство с алгеброй, описанной выше.

Более того, множество (семейство) вещественнозначных функций на X можно, фактически, определить как ${\displaystyle \sigma }$-алгебру на X как и все прообразы борелевских множеств (или только промежутков, что не столь существенно). Это способ, которым ${\displaystyle \sigma }$-алгебры появляются в теории вероятностей (колмоггоровской), где вещественнозначные функции на пространстве элементарных событий Ω являются вещественнозначными случайными величинами.

Непрерывность

Вещественные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство. Непрерывные вещественнозначные функции (с предположением, что X является топологическим пространством) имеют важное значение в теориях топологических пространств и метрических пространств. Теорема об экстремальных значениях утверждает, что любая вещественная непрерывная функция на компактном пространстве имеет максимум или минимум.

Концепция метрического пространства сама по себе определяется с вещественнозначной функцией от двух переменных, непрерывной метрики. Пространство непрерывных функций на компактном хаусдорховом пространстве^[англ.] имеет особое значение. Пределы последовательностей можно также рассматривать как вещественнозначные непрерывные функции на специальном топологическом пространстве.

Непрерывные функции образуют также векторное пространство с алгеброй, представленной выше, и являются подклассом измеримых функций, поскольку любое топологическое пространство имеет ${\displaystyle \sigma }$-алгебру, образованную открытыми (или замкнутыми) множествами.

Гладкость

Основная статья: Гладкая функция

Вещественные числа используются в качестве кодомена для определения гладких функций. Область определения вещественной гладкой функции может быть: вещественным координатным пространством (что даёт функции нескольких вещественных переменных^[англ.]), топологическим векторным пространством,^[1] его открытым подмножеством, или гладким многообразием.

Пространства гладких функций являются также векторными пространствами с алгебрами, описанными выше, и являются подклассами непрерывных функций.

В теории меры

Мера множества — это неотрицательный вещественнозначный функционал на ${\displaystyle \sigma }$-алгебре подмножеств^[2]. ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$ пространства на множествах с мерой определяются из упомянутых выше вещественнозначных измеримых функций, хотя они, на самом деле, являются факторпространствами. Более точно: принимая в внимание, что функция, удовлетворяющая подходящим условиям суммируемости, определяет элемент пространства ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$. В обратном направлении: для любой функции ${\displaystyle f\in \mathrm {L} (X)}$ и точки ${\displaystyle x\in X}$, не являющейся атомом, значение f(x) не определено^[англ.]. Однако, вещественнозначные ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$ пространства по-прежнему имеют некоторые из структур, описанных выше. Каждое из ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$ пространств является векторным пространством, имеет частичный порядок и существует поточечное умножение «функций», которое меняет p, а именно:

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leqslant \alpha ,\beta \leqslant 1,\quad \alpha +\beta \leqslant 1~.}$

Например, поточечное произведение двух L² функций принадлежит L¹.

Другие приложения

Другие контексты, где используются вещественнозначные функции и их свойства: монотонные функции (на упорядоченных множествах), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях), аналитические функции (обычно от одной и более вещественных переменных), алгебраические функции (на вещественных алгебраических многообразиях) и многочлены (от одной и более переменных).

См. также

• Теория функций вещественной переменной
• Дифференциальные уравнения в частных производных — область, в которой часто используются вещественнозначные функции
• Норма (математика)
• Скаляр