Восьмиугольная мозаика порядка 4

Восьмиугольная мозаика порядка 4 — это правильная мозаика на гиперболической плоскости. Мозаика представлена символом Шлефли {8,4}. Её шахматная раскраска может быть названа восьми-восьмиугольной мозаикой и её смвол Шлефли r{8,8}.

Восьмиугольная мозаика порядка 4
Тип	Правильная гиперболическая мозаика
Конфигурация вершины	84
Символ Шлефли	{8,4} r{8,8}
Символ Витхоффа	4 | 8 2
Симметрии	[8,4], (*842) [8,8], (*882)
Диаграммы Коксетера — Дынкина	или
Двойственные соты	Квадратная мозаика порядка 8
Свойства	Изогональная, изотоксальная, изоэдральная

Однородные построения

Имеется четыре однородных построения этой мозаики. Три из них осуществляются удалением зеркала из калейдоскопа [8,8] . Удаление зеркала между точками порядка 2 и 4 даёт [8,8,1⁺] с симметрией [(8,8,4)] (*884)^[англ.]. Удаление двух зеркал оставляет симметрию *4444.

Четыре однородных построения 8.8.8.8

Однородная раскраска
Симметрия[англ.]	[8,4] (*842)	[8,8] (*882) =	[(8,4,8)] = [8,8,1+] (*884) = =	[1+,8,8,1+] (*4444) =
Символ	{8,4}	r{8,8}	r(8,4,8) = r{8,8}1⁄2	r{8,4}1⁄8 = r{8,8}1⁄4
Диаграмма Коксетера			= =	= = =

Симметрия

Эта мозаика представляет гиперболический калейдоскоп из 8 зеркал, находящихся на краях правильного шестиугольника. Эта симметрия в орбифолдной нотации^[англ.] есть (*22222222) или (*2⁸) с 8 пересечениями зеркал порядка 2. В нотации Коксетер^[англ.] мозаика может быть представлена как [8^*,4], которая получается удалением двух зеркал (проходящих череpез центр восьмиугольника) в симметрии [8,4]. Добавление зеркала, проходящего через 2 вершины восьмиугольной фундаментальной области определяет трапецоэдральную симметрию *4422. Добавление 4 зеркал, проходящих через вершины, определяет симметрию *444. Добавление 4 зеркал, проходящих через стороны, определяет симметрию *4222^[англ.]. Добавление всех 8 зеркал приводит полной симметрии *842.

*444

*4222

*832

Фундаментальную область калейдоскопа можно рассматривать как двухцветную восьмиугольную мозаику, представлющую зеркальные образы фундаментальной области. Эта раскраска представляет однородную квазиправильную мозаику r{8,8}, которую можно назвать восьми-восьмигональной мозаикой.

Связанные многогранники и мозаики

Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных мозаик с восмиугольными гранями. Последовательность начинается с восьмиугольной мозаики, имеющей символ Шлефли {8,n} и диаграмму Коксетера , и уходит в бесконечность.

Варианты симметрии *n42 правильных мозаик {n,4}
Сферические		Евклидовы	Гиперболические мозаики
24	34	44	54	64	74	84	...∞4

Правильные мозаики {n,8}
Сферические	Гиперболические мозаики
{2,8}	{3,8}	{4,8}	{5,8}	{6,8}	{7,8}	{8,8}	...	{∞,8}

Эта мозаика также топологически является частью последдовательности правильных многогранников и мозаик с четырьмя гранями в вершине. Последовательность начинаетс с октаэдра, имеет символ Шлефли {n,4} и диаграмму Коксетера и распространяется на бесконечность.

{3,4}

{4,4}

{5,4}

{6,4}

{7,4}

{8,4}

...

{∞,4}

Однородные восьмиугольные/квадратные мозаики
[8,4], (*842) (with [8,8] (*882), [(4,4,4)] (*444) , [∞,4,∞] (*4222) index 2 subsymmetries) (и подсимметрия [(∞,4,∞,4)] (*4242) )
= = =	=	= = =	=	= =	=
{8,4}	t{8,4}	r{8,4}	2t{8,4}=t{4,8}	2r{8,4}={4,8}	rr{8,4}	tr{8,4}
Однордные двойственные
V84	V4.16.16	V(4.8)2	V8.8.8	V48	V4.4.4.8	V4.8.16
Альтернированные
[1+,8,4] (*444)	[8+,4] (8*2)	[8,1+,4] (*4222)	[8,4+] (4*4)	[8,4,1+] (*882)	[(8,4,2+)] (2*42)	[8,4]+ (842)
=	=	=	=	=	=
h{8,4}	s{8,4}	hr{8,4}	s{4,8}	h{4,8}	hrr{8,4}	sr{8,4}
Альтернированные двойственные
V(4.4)4	V3.(3.8)2	V(4.4.4)2	V(3.4)3	V88	V4.44	V3.3.4.3.8

Однородные восьмивосьмиугольные мозаики
Симметрия: [8,8], (*882)
= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =
{8,8}	t{8,8}	r{8,8}	2t{8,8}=t{8,8}	2r{8,8}={8,8}	rr{8,8}	tr{8,8}
Однородные двойственные
V88	V8.16.16	V8.8.8.8	V8.16.16	V88	V4.8.4.8	V4.16.16
Альтернированные
[1+,8,8] (*884)	[8+,8] (8*4)	[8,1+,8] (*4242)	[8,8+] (8*4)	[8,8,1+] (*884)	[(8,8,2+)] (2*44)	[8,8]+ (882)
=		=		=	= =	= =
h{8,8}	s{8,8}	hr{8,8}	s{8,8}	h{8,8}	hrr{8,8}	sr{8,8}
Альтернативные двойственные
V(4.8)8	V3.4.3.8.3.8	V(4.4)4	V3.4.3.8.3.8	V(4.8)8	V46	V3.3.8.3.8

См. также

• Квадратный паркет
• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
• Список однородных мозаик на плоскости^[англ.]
• Список правильных многомерных многогранников и соединений