Осоэдр

n-угольный осоэдр — мозаика из двуугольников на сферической поверхности, где каждый такой двуугольник имеет две общие вершины (противоположные точки сферы) с другими двуугольниками.

Множество правильных n-угольных осоэдров
Пример шестиугольного осоэдра на сфере
Тип	Регулярный многогранник[англ.] или сферическая мозаика
Комбинаторика
Элементы	n рёбер 2 вершины Χ = 2
Грани	n Двуугольников
Конфигурация вершины	2n
Двойственный многогранник	диэдр
Классификация
Символ Шлефли	{2,n}
Символ Витхоффа[англ.]	n | 2 2
Диаграмма Дынкина
Группа симметрии	Dnh, [2,n], (*22n), порядок 4n
Медиафайлы на Викискладе

Этот пляжный мяч^[англ.] показывает осоэдр с шестью серповидными гранями, если удалить два белых круга на концах.

Правильный n-угольный осоэдр имеет символ Шлефли {2, n}, а каждый двуугольник имеет внутренний угол 2π/n радиан (360/n градусов^[1][2].

Осоэдры как правильные многогранники

Для правильных многогранников, символ Шлефли которых равен {m, n}, число многоугольных граней можно найти по формуле:

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}}$

Правильные многогранники, известные с античных времён, являются единственными многогранниками, дающими в результате деления целое число для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 приводит к тому, что многоугольные грани должны иметь по меньшей мере три стороны.

Если рассматривать многогранники как сферическую мозаику, это ограничение может быть ослаблено, поскольку двуугольники можно рассматривать как сферические двуугольные фигуры, имеющие ненулевую площадь. Допущение m = 2 порождает новый бесконечный класс правильных многогранников, то есть осоэдров.

Правильный треугольный осоэдр, {2,3}, представленный в виде мозаики из трёх двуугольников на сфере.

Правильный четырёхугольный осоэдр, представленный в виде мозаики из четырёх двуугольников на сфере.

Семейство правильных осоэдров

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...
Рисунок
Шлефли	{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}	{2,9}	{2,10}	{2,11}	{2,12}
Коксетер
Граней и рёбер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Вершин	2

Калейдоскопическая симметрия

Двуугольные грани 2n-осоэдра , {2,2n}, представляют фундаментальные области диэдральной симметрии^?!: C_nv, [n], (*nn), порядок 2n. Области зеркального отражения можно показать, используя поочерёдную раскраску двуугольников. Рассечения двуугольников на два сферических треугольника создают бипирамиды и определяют диэдрическую симметрию D_nh, порядок 4n.

Симметрия	C1v	C2v	C3v	C4v	C5v	C6v
Осоэдр	{2,2}	{2,4}	{2,6}	{2,8}	{2,10}	{2,12}
Фундаментальные области

Связь с телами Штейнмеца

Четырёхугольный осоэдр топологически эквивалентен бицилиндру, пересечению двух цилиндров под прямым углом^[3].

Производные многогранники

Двойственным многогранником n-угольного осоэдра {2, n} является n-угольный диэдр, {n, 2}. Многогранник {2,2} самодвойственен и является осоэдром и диэдром одновременно.

Осоэдр можно модифицировать тем же способом, что и другие многогранники, порождая усечённые^[англ.] варианты. Усечённый n-угольный осоэдр — это n-угольная призма.

Бесконечноугольный осоэдр

В пределе осоэдр становится бесконечноугольным и представляет собой двумерное замощение:

Осотопы

Многомерные аналоги, в общем случае, называются осотопами. Правильный осототоп с символом Шлефли {2,p,…,q} имеет две вершины и в обеих вершинах вершинной фигурой служит {p,…,q}.

Двумерный осотоп (многоугольник) {2} — это двуугольник.

Этимология

Термин «осоэдр» (hosohedron) предложен Г. С. М. Коксетером и, возможно, происходит от др.-греч. ὅσος (осос) «сколь угодно», что указывает на возможность осоэдра иметь «сколь угодно много граней»^[4].

Однородные шестиугольные диэдральные сферические многогранники

Симметрия: [6,2], (*622)							[6,2]+, (622)	[6,2+], (2*3)
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	tr{6,2}[англ.]	sr{6,2}	s{2,6}
Двойственные им многогранники
V62	V122	V62	V4.4.6[англ.]	V26	V4.4.6[англ.]	V4.4.12	V3.3.3.6[англ.]	V3.3.3.3

*n32 варианты симметрии правильных мозаик: n³ или {n,3}

Сферические				Евклидовы	Компактные гиперболические.		Параком- пактные.	Некомпактные гиперболические.
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

*n32 мутации симметрий усечённых мозаик: n.6.6
Симметрия *n32 [n,3]	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Паракомпактная.	Некомпактная гиперболическая
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Усечённые фигуры
Конф.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-кис фигуры
Конф.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Варианты симметрии *n42 усечённых мозаик: n.8.8
Симметрия *n42 [n,4]	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболич.				Параком- пактная
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усечённые фигуры
Конфиг.	2.8.8	3.8.8	4.8.8	5.8.8[англ.]	6.8.8[англ.]	7.8.8[англ.]	8.8.8[англ.]	∞.8.8[англ.]
n-kis фигуры
Конфиг.	V2.8.8	V3.8.8	V4.8.8	V5.8.8	V6.8.8	V7.8.8	V8.8.8	V∞.8.8

Варианты симметрии *n42 правильных мозаик {n,4}
Сферические		Евклидовы	Гиперболические мозаики
24	34	44	54	64	74	84	...∞4

Соты {p,4,4}
Пространство	E3	H3
Форма	Аффинные	Паракомпактные		Некмпактные
Название	{2,4,4}	{3,4,4}	{4,4,4}	{5,4,4}	{6,4,4}	..{∞,4,4}
Coxeter
Image
Cells	{2,4}	{3,4}	{4,4}	{5,4}	{6,4}	{∞,4}

См. также

• Многогранник
• Политоп