Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Вписанно-описанный четырёхугольник

одновременно вписанный и описанный Из Википедии, свободной энциклопедии

Вписанно-описанный четырёхугольник
Remove ads

Вписанно-описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Из определения следует, что вписанно-описанные четырёхугольники имеют все свойства как описанных четырёхугольников, так и вписанных четырёхугольников. Другие названия этих четырёхугольников: хордо-касающийся четырёхугольник[1] и бицентрический четырёхугольник. Их также называют двух-окружностными четырёхугольниками[2].

Thumb
Поризм Понселе для вписанно-описанных четырёхугольников ABCD и EFGH

Если две окружности, одна внутри другой, являются вписанной окружностью и описанной окружностью некоторого четырёхугольника, то любая точка на описанной окружности является вершиной какого-то (возможно, другого) вписанно-описанного четырёхугольника, имеющего те же самые вписанные и описанные окружности[3]. Это следствие поризма Понселе, который доказал французский математик Жан-Виктор Понселе (1788–1867).

Remove ads

Специальные случаи

Thumb
Прямоугольный дельтоид

Примерами вписанно-описанных четырёхугольников являются квадраты, прямоугольные дельтоиды и равнобокие описанные трапеции.

Описание

Суммиров вкратце
Перспектива
Thumb
Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD и его контактный четырёхугольник WXYZ

Выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами a, b, c, d является бицентрическим тогда и только тогда, когда противоположные стороны удовлетворяют теореме Пито для описанных четырёхугольников и свойству вписанных четырёхугольников, что противоположные углы в сумме дают 180 градусов, то есть

Три других описания касаются точек, в которых вписанная окружность в описанном четырёхугольнике касается сторон. Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках W, X, Y и Z соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD является также и описанным в том и только в том случае, когда выполняется любое из следующих трёх условий[4]:

  • Отрезок WY перпендикулярен XZ

Первое из этих трёх условий означает, что контактный четырёхугольник WXYZ является ортодиагональным четырёхугольником.

Если E, F, G, H являются серединами WX, XY, YZ, ZW соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD также является описанным тогда и только тогда, когда четырёхугольник EFGH является прямоугольником[4].

Согласно другому описанию, если I является центром вписанной окружности описанного четырёхугольника, у которого продолжения противоположных сторон пересекаются в точках J и K, то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда JIK является прямым углом[4].

Ещё одним необходимым и достаточным условием является то, что описанный четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда его прямая Гаусса перпендикулярна прямой Гаусса его контактного четырёхугольника WXYZ. (Прямая Гаусса четырёхугольника определяется средними точками его диагоналей.)[4]

Remove ads

Построение

Thumb
Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD с контактным четырёхугольником WXYZ. Анимацию смотрите здесь

Имеется простой метод построения бицентрического четырёхугольника:

Построение начинается с вписанной окружности Cr с центром I и радиусом r, затем рисуем две перпендикулярные друг другу хорды WY и XZ во вписанной окружности Cr. На концах хорд проводим касательные a, b, c и d к вписанной окружности. Они пересекаются в точках A, B, C and D, которые являются вершинами вписанно-описанного четырёхугольника[5]. Чтобы нарисовать описанную окружность, рисуем два серединных перпендикуляра p1 и p2 к сторонам вписанно-описанного четырёхугольника a и b соответственно. Они пересекаются в центре O описанной окружности CR на расстоянии x от центра I вписанной окружности Cr.

Справедливость этого построения вытекает из факта, что в описанном четырёхугольнике ABCD контактный четырёхугольник WXYZ имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда описанный четырёхугольник является также вписанным.

Площадь

Суммиров вкратце
Перспектива

Формулы в терминах четырёх величин

Площадь K вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах четырёх величин четырёхугольника несколькими способами. Если a, b, c и d являются сторонами, то площадь задаётся формулой[3][6][7][8][9]

Это частный случай формулы Брахмагупты. Формулу можно получить и прямо из тригонометрической формулы площади описанного четырёхугольника. Заметим, что обратное не выполняется — некоторые четырёхугольники, не являющиеся бицентрическими, также имеют площадь [10]. Примером такого четырёхугольника служит прямоугольник (с разными сторонами, не квадрат).

Площадь может быть выражена в терминах отрезков от вершины до точки касания (для краткости будем называть эти длины касательными длинами) e, f, g, h[11]

Формула площади вписанно-описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности I[7]

Если вписанно-описанный четырёхугольник имеет касательные хорды k, l и диагонали p, q, тогда он имеет площадь[12]

Если k, l являются касательными хордами и m, n являются бимедианами четырёхугольника, тогда площадь может быть вычислена с помощью формулы[7].

Формула не может быть использована, если четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом, поскольку в этом случае знаменатель равен нулю.

Если M и N являются серединами диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжения сторон, то площадь вписанно-описанного четырёхугольника задаётся формулой

,

где I является центром вписанной окружности[7].

Формулы в терминах трёх величин

Площадь вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах двух противоположных сторон и угла θ между диагоналями согласно формуле[7]

В терминах двух смежных углов и радиуса r вписанной окружности площадь площадь задаётся формулой[7]

Площадь задаётся в терминах радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности как

где θ является любым из углов между диагоналями[13].

Если M и N являются средними точками диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжений противоположных сторон, площадь можно выразить формулой

,

где Q является основанием перпендикуляра на прямую EF из центра вписанной окружности[7].

Неравенства

Если r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, тогда площадь K удовлетворяет двойному неравенству[14]

Равенство получим, только если четырёхугольник является квадратом.

Другим неравенством для площади будет[15]:p.39,#1203

,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Похожее неравенство, дающее более точную верхнюю границу для площади, чем предыдущее[13]

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом.

Кроме того, со сторонами a, b, c, d и полупериметром s:

[15]:p.39,#1203
[15]:p.39,#1203
[15]:p.39,#1203
Remove ads

Формулы углов

Суммиров вкратце
Перспектива

Если a, b, c и d являются длинами сторон AB, BC, CD и DA соответственно во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD, то его углы в вершинах можно вычислить с помощью тангенса[7]:

Если использовать те же обозначения, выполняются следующие формулы для синусов и косинусов[16]:

Угол θ между диагоналями можно вычислить из формулы[8].

Remove ads

Радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности

Суммиров вкратце
Перспектива

Радиус вписанной окружности r вписанно-описанного четырёхугольника определяется сторонами a, b, c, d по формуле[3]

Радиус описанной окружности R является частным случаем формулы Парамешвары[3]

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах последовательных касательных длин e, f, g, h согласно формуле[17].

Эти две формулы, фактически, являются необходимыми и достаточными условиями для описанного четырёхугольника с радиусом вписанной окружности r быть вписанным.

Четыре стороны a, b, c, d вписанно-описанного четырёхугольника являются решениями уравнения четвёртой степени[англ.]

,

где s является полупериметром, а r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно[18].

Если имеется вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r, касательные длины которых равны e, f, g, h, то существует вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности rv, касательные длины которых равны , где v могут быть любым вещественным числом[19].

Вписанно-описанный четырёхугольник имеет больший радиус вписанной окружности, чем любой другой описанный четырёхугольник, имеющий те же длины сторон в той же последовательности[20].

Неравенства

Радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r удовлетворяют неравенству

,

которое доказал Л. Фейеш Тот в 1948[21]. Неравенство превращается в равенство, только если две окружности концентричны (центры совпадают). В этом случае четырёхугольник является квадратом. Неравенство можно доказать несколькими различными путями, один из путей использует двойное неравенство для площади выше.

Обобщением предыдущего неравенства является[2][22].

,

где неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом[23].

Полупериметр s вписанно-описанного четырёхугольника удовлетворяет[24]

,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Более того,[15]:p.39,#1203

и

[15]:p.62,#1599
Remove ads

Расстояние между центром вписанной окружности и центром описанной окружностей

Суммиров вкратце
Перспектива
Thumb
Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD с центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O

Теорема Фусса

Теорема Фусса даёт связь между радиусом вписанной окружности r, радиусом описанной окружности R и расстоянием x между центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O, для любого бицентрического четырёхугольника. Связь задаётся формулой[1][9][25].

Или, эквивалентно,

Формулу вывел Николай Иванович Фусс (1755–1826) в 1792. Решая относительно x, получим

Теорема Фусса для вписанно-описанных четырёхугольников, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников, утверждает, что если четырёхугольник бицентрический, то его две ассоциированных окружности связаны приведённой выше формулой. Фактически, обратное также выполняется — если даны две окружности (одна внутри другой) с радиусами R и r и расстояние x между их центрами удовлетворяет условию теоремы Фусса, существует выпуклый четырёхугольник, вписанный в одну из окружностей, а другая окружность будет вписана в четырёхугольник[26] (а тогда, по теореме Понселе, существует бесконечно много таких четырёхугольников).

Если использовать факт, что в выражении теоремы Фусса, получим другим способом уже упомянутое неравенство Обобщением неравенства будет[27]

Тождество Карлица

Другая формула расстояния x между центрами вписанной окружности и описанной окружности принадлежит американскому математику Леонарду Карлицу (1907–1999). Формула утверждает, что[28].

,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, и

,

где a, b, c, d являются сторонами вписанно-описанного четырёхугольника.

Неравенства для касательных длин и сторон

Для касательных длин e, f, g, h выполняются следующие неравенства[29]:

и

,

где r является радиусом вписанной окружности, R является радиусом описанной окружности, а x является расстоянием между центрами этих окружностей. Стороны a, b, c, d удовлетворяют неравенствам[27]

и

Remove ads

Другие свойства центра вписанной окружности

Суммиров вкратце
Перспектива

Центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике коллинеарны.[30]

Есть следующее равенство относительно четырёх расстояний между центром вписанной окружности I и вершинами бицентрического четырёхугольника ABCD:[31]

,

где r — радиус вписанной окружности.

Если точка P является пересечением диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности I, то[32]

Есть неравенство для радиуса r вписанной окружности и радиуса описанной окружности R во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD[33]

,

где I является центром вписанной окружности.

Remove ads

Свойства диагоналей

Суммиров вкратце
Перспектива

Длины диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике можно выразить терминах сторон или касательных длин. Эти формулы верны для вписанных четырёхугольников и описанных четырёхугольников соответственно.

Во вписанно-описанном четырёхугольнике с диагоналями p и q выполняется тождество[34]:

,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно. Это тождество можно переписать как[13]

или, решив его как квадратное уравнение относительно произведения диагоналей, получим

Есть неравенство для произведения диагоналей p, q во вписанно-описанном четырёхугольнике[14]

,

где a, b, c, d — стороны. Неравенство доказал Мюррей С. Кламкин в 1967.

Remove ads

См. также

Примечания

Литература

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads