Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Вписанно-описанный четырёхугольник
одновременно вписанный и описанный Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Вписанно-описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Из определения следует, что вписанно-описанные четырёхугольники имеют все свойства как описанных четырёхугольников, так и вписанных четырёхугольников. Другие названия этих четырёхугольников: хордо-касающийся четырёхугольник[1] и бицентрический четырёхугольник. Их также называют двух-окружностными четырёхугольниками[2].

Если две окружности, одна внутри другой, являются вписанной окружностью и описанной окружностью некоторого четырёхугольника, то любая точка на описанной окружности является вершиной какого-то (возможно, другого) вписанно-описанного четырёхугольника, имеющего те же самые вписанные и описанные окружности[3]. Это следствие поризма Понселе, который доказал французский математик Жан-Виктор Понселе (1788–1867).
Remove ads
Специальные случаи

Примерами вписанно-описанных четырёхугольников являются квадраты, прямоугольные дельтоиды и равнобокие описанные трапеции.
Описание
Суммиров вкратце
Перспектива

Выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами a, b, c, d является бицентрическим тогда и только тогда, когда противоположные стороны удовлетворяют теореме Пито для описанных четырёхугольников и свойству вписанных четырёхугольников, что противоположные углы в сумме дают 180 градусов, то есть
Три других описания касаются точек, в которых вписанная окружность в описанном четырёхугольнике касается сторон. Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках W, X, Y и Z соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD является также и описанным в том и только в том случае, когда выполняется любое из следующих трёх условий[4]:
- Отрезок WY перпендикулярен XZ
Первое из этих трёх условий означает, что контактный четырёхугольник WXYZ является ортодиагональным четырёхугольником.
Если E, F, G, H являются серединами WX, XY, YZ, ZW соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD также является описанным тогда и только тогда, когда четырёхугольник EFGH является прямоугольником[4].
Согласно другому описанию, если I является центром вписанной окружности описанного четырёхугольника, у которого продолжения противоположных сторон пересекаются в точках J и K, то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда JIK является прямым углом[4].
Ещё одним необходимым и достаточным условием является то, что описанный четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда его прямая Гаусса перпендикулярна прямой Гаусса его контактного четырёхугольника WXYZ. (Прямая Гаусса четырёхугольника определяется средними точками его диагоналей.)[4]
Remove ads
Построение

Имеется простой метод построения бицентрического четырёхугольника:
Построение начинается с вписанной окружности Cr с центром I и радиусом r, затем рисуем две перпендикулярные друг другу хорды WY и XZ во вписанной окружности Cr. На концах хорд проводим касательные a, b, c и d к вписанной окружности. Они пересекаются в точках A, B, C and D, которые являются вершинами вписанно-описанного четырёхугольника[5]. Чтобы нарисовать описанную окружность, рисуем два серединных перпендикуляра p1 и p2 к сторонам вписанно-описанного четырёхугольника a и b соответственно. Они пересекаются в центре O описанной окружности CR на расстоянии x от центра I вписанной окружности Cr.
Справедливость этого построения вытекает из факта, что в описанном четырёхугольнике ABCD контактный четырёхугольник WXYZ имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда описанный четырёхугольник является также вписанным.
Площадь
Суммиров вкратце
Перспектива
Формулы в терминах четырёх величин
Площадь K вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах четырёх величин четырёхугольника несколькими способами. Если a, b, c и d являются сторонами, то площадь задаётся формулой[3][6][7][8][9]
Это частный случай формулы Брахмагупты. Формулу можно получить и прямо из тригонометрической формулы площади описанного четырёхугольника. Заметим, что обратное не выполняется — некоторые четырёхугольники, не являющиеся бицентрическими, также имеют площадь [10]. Примером такого четырёхугольника служит прямоугольник (с разными сторонами, не квадрат).
Площадь может быть выражена в терминах отрезков от вершины до точки касания (для краткости будем называть эти длины касательными длинами) e, f, g, h[11]
Формула площади вписанно-описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности I[7]
Если вписанно-описанный четырёхугольник имеет касательные хорды k, l и диагонали p, q, тогда он имеет площадь[12]
Если k, l являются касательными хордами и m, n являются бимедианами четырёхугольника, тогда площадь может быть вычислена с помощью формулы[7].
Формула не может быть использована, если четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом, поскольку в этом случае знаменатель равен нулю.
Если M и N являются серединами диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжения сторон, то площадь вписанно-описанного четырёхугольника задаётся формулой
- ,
где I является центром вписанной окружности[7].
Формулы в терминах трёх величин
Площадь вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах двух противоположных сторон и угла θ между диагоналями согласно формуле[7]
В терминах двух смежных углов и радиуса r вписанной окружности площадь площадь задаётся формулой[7]
Площадь задаётся в терминах радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности как
где θ является любым из углов между диагоналями[13].
Если M и N являются средними точками диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжений противоположных сторон, площадь можно выразить формулой
- ,
где Q является основанием перпендикуляра на прямую EF из центра вписанной окружности[7].
Неравенства
Если r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, тогда площадь K удовлетворяет двойному неравенству[14]
Равенство получим, только если четырёхугольник является квадратом.
Другим неравенством для площади будет[15]:p.39,#1203
- ,
где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.
Похожее неравенство, дающее более точную верхнюю границу для площади, чем предыдущее[13]
и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом.
Кроме того, со сторонами a, b, c, d и полупериметром s:
- [15]:p.39,#1203
- [15]:p.39,#1203
- [15]:p.39,#1203
Remove ads
Формулы углов
Суммиров вкратце
Перспектива
Если a, b, c и d являются длинами сторон AB, BC, CD и DA соответственно во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD, то его углы в вершинах можно вычислить с помощью тангенса[7]:
Если использовать те же обозначения, выполняются следующие формулы для синусов и косинусов[16]:
Угол θ между диагоналями можно вычислить из формулы[8].
Remove ads
Радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности
Суммиров вкратце
Перспектива
Радиус вписанной окружности r вписанно-описанного четырёхугольника определяется сторонами a, b, c, d по формуле[3]
Радиус описанной окружности R является частным случаем формулы Парамешвары[3]
Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах последовательных касательных длин e, f, g, h согласно формуле[17].
Эти две формулы, фактически, являются необходимыми и достаточными условиями для описанного четырёхугольника с радиусом вписанной окружности r быть вписанным.
Четыре стороны a, b, c, d вписанно-описанного четырёхугольника являются решениями уравнения четвёртой степени[англ.]
- ,
где s является полупериметром, а r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно[18].
Если имеется вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r, касательные длины которых равны e, f, g, h, то существует вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности rv, касательные длины которых равны , где v могут быть любым вещественным числом[19].
Вписанно-описанный четырёхугольник имеет больший радиус вписанной окружности, чем любой другой описанный четырёхугольник, имеющий те же длины сторон в той же последовательности[20].
Неравенства
Радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r удовлетворяют неравенству
- ,
которое доказал Л. Фейеш Тот в 1948[21]. Неравенство превращается в равенство, только если две окружности концентричны (центры совпадают). В этом случае четырёхугольник является квадратом. Неравенство можно доказать несколькими различными путями, один из путей использует двойное неравенство для площади выше.
Обобщением предыдущего неравенства является[2][22].
- ,
где неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом[23].
Полупериметр s вписанно-описанного четырёхугольника удовлетворяет[24]
- ,
где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.
Более того,[15]:p.39,#1203
и
- [15]:p.62,#1599
Remove ads
Расстояние между центром вписанной окружности и центром описанной окружностей
Суммиров вкратце
Перспектива

Теорема Фусса
Теорема Фусса даёт связь между радиусом вписанной окружности r, радиусом описанной окружности R и расстоянием x между центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O, для любого бицентрического четырёхугольника. Связь задаётся формулой[1][9][25].
Или, эквивалентно,
Формулу вывел Николай Иванович Фусс (1755–1826) в 1792. Решая относительно x, получим
Теорема Фусса для вписанно-описанных четырёхугольников, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников, утверждает, что если четырёхугольник бицентрический, то его две ассоциированных окружности связаны приведённой выше формулой. Фактически, обратное также выполняется — если даны две окружности (одна внутри другой) с радиусами R и r и расстояние x между их центрами удовлетворяет условию теоремы Фусса, существует выпуклый четырёхугольник, вписанный в одну из окружностей, а другая окружность будет вписана в четырёхугольник[26] (а тогда, по теореме Понселе, существует бесконечно много таких четырёхугольников).
Если использовать факт, что в выражении теоремы Фусса, получим другим способом уже упомянутое неравенство Обобщением неравенства будет[27]
Тождество Карлица
Другая формула расстояния x между центрами вписанной окружности и описанной окружности принадлежит американскому математику Леонарду Карлицу (1907–1999). Формула утверждает, что[28].
- ,
где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, и
- ,
где a, b, c, d являются сторонами вписанно-описанного четырёхугольника.
Неравенства для касательных длин и сторон
Для касательных длин e, f, g, h выполняются следующие неравенства[29]:
и
- ,
где r является радиусом вписанной окружности, R является радиусом описанной окружности, а x является расстоянием между центрами этих окружностей. Стороны a, b, c, d удовлетворяют неравенствам[27]
и
Remove ads
Другие свойства центра вписанной окружности
Суммиров вкратце
Перспектива
Центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике коллинеарны.[30]
Есть следующее равенство относительно четырёх расстояний между центром вписанной окружности I и вершинами бицентрического четырёхугольника ABCD:[31]
- ,
где r — радиус вписанной окружности.
Если точка P является пересечением диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности I, то[32]
Есть неравенство для радиуса r вписанной окружности и радиуса описанной окружности R во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD[33]
- ,
где I является центром вписанной окружности.
Remove ads
Свойства диагоналей
Суммиров вкратце
Перспектива
Длины диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике можно выразить терминах сторон или касательных длин. Эти формулы верны для вписанных четырёхугольников и описанных четырёхугольников соответственно.
Во вписанно-описанном четырёхугольнике с диагоналями p и q выполняется тождество[34]:
- ,
где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно. Это тождество можно переписать как[13]
или, решив его как квадратное уравнение относительно произведения диагоналей, получим
Есть неравенство для произведения диагоналей p, q во вписанно-описанном четырёхугольнике[14]
- ,
где a, b, c, d — стороны. Неравенство доказал Мюррей С. Кламкин в 1967.
Remove ads
См. также
- Вписанно-описанный многоугольник[англ.]
- Внеописанный четырёхугольник
Примечания
Литература
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads