Выпуклый многосторонник

Не следует путать с конфигурационным полным многосторонником.

Обзорные статьи: Выпуклое множество и Полуплоскость

Вы́пуклый многосторо́нник^{[комм 1]} (англ. convex multilateral^[1][2]) — фигура на плоскости, которую можно представить как пересечение конечного числа замкнутых полуплоскостей^[3].

Отрезок как выпуклый четырёхсторонник

Замечание. Термин «выпуклый многосторонник» в английской Википедии ни в каком виде не встречается^[1][2].

Простейший выпуклый многосторонник — это односторонник, то есть замкнутая полуплоскость^[3].

Треугольник — простейший ограниченный выпуклый многосторонник; при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ выпуклые трёхсторонники, четырёхсторонники^[4] и так далее бывают ограниченные и неограниченные. Отрезок — пример выпуклого ограниченного четырёхсторонника^[3].

Выпуклый многоугольник — то же самое, что и ограниченный выпуклый многосторонник^[5].

Выпуклый многогранник — обобщение на трёхмерное пространство выпуклого многосторонника^[6].

Выпуклый n-сторонник

Рассмотрим выпуклый многосторонник ${\displaystyle M}$, который образован пересечением следующего множества ${\displaystyle n}$ замкнутых полуплоскостей^[3]:

${\displaystyle S=\{H_{1},\,H_{2},\,\dots ,\,H_{n}\}}$.

Лишняя полуплоскость — полуплоскость из множества замкнутых полуплоскостей ${\displaystyle S}$, образовывающих выпуклый многосторонник ${\displaystyle M}$, которая содержит пересечение всех остальных плоскостей из ${\displaystyle S}$^[3].

Лишнюю полуплоскость можно удалить из множества замкнутых полуплоскостей ${\displaystyle S}$, определяющих многосторонник ${\displaystyle M}$, при этом ${\displaystyle M}$ не изменится и будет определён меньшим числом полуплоскостей^[3].

Выпуклый ${\displaystyle n}$-сторонник — выпуклый многосторонник, образованный пересечением ${\displaystyle n}$ замкнутых полуплоскостей, среди которых нет лишних^[3][7].

Простейший выпуклый многосторонник — это односторонник, то есть просто замкнутая полуплоскость^[3].

Выпуклые двусторонники — это углы, меньшие ${\displaystyle 180^{\circ }}$, и полосы, а также прямые, которые представляются как пересечение двух замкнутых полуплоскостей. Выпуклые односторонники и двусторонники всегда не ограничены^[3].

• Выпуклые двусторонники
• 
  Угол меньше ${\displaystyle 180^{\circ }}$
• 
  Полоса
• 
  Прямая

Треугольник — простейший ограниченный выпуклый многосторонник; при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ выпуклые трёхсторонники, четырёхсторонники и так далее бывают ограниченные и неограниченные. Отрезок — пример выпуклого ограниченного четырёхсторонника^[3].

• Выпуклые трёхсторонники
• 
  Луч
• 
  Точка
• 
  Угол без треугольника
• 
  Полуполоса
• 
  Треугольник

• Выпуклые четырёхсторонники
• 
  Точка
• 
  Отрезок
• 
  Ограниченный четырёхсторонник
• 
  Неограниченный четырёхсторонник

Произвольная выпуклая фигура, расположенная на прямой (точка, отрезок, луч или вся прямая), есть выпуклый многосторонник^[8].

Нульмерный выпуклый многосторонник — это точка. Одномерные выпуклые многосторонники — отрезок, луч и прямая. Двумерные выпуклые многосторонники — все остальные выпуклые многосторонники^[8].

• Одномерные выпуклые многосторонники
• 
  Отрезок как выпуклый четырёхсторонник
• 
  Луч как выпуклый трёхсторонник
• 
  Прямая как выпуклый двусторонник

Опорные прямые выпуклого многосторонника

Лишняя полуплоскость

Рассмотрим некоторый выпуклый ${\displaystyle n}$-сторонник ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle n}$ полуплоскостей ${\displaystyle H_{1},\,H_{2},\,\dots ,\,H_{k}}$, пересечение которых определяет ${\displaystyle M}$. Обозначим через ${\displaystyle l_{1},\,l_{2},\,\dots ,\,l_{k}}$ граничные прямые соответственно полуплоскостей ${\displaystyle H_{1},\,H_{2},\,\dots ,\,H_{k}}$^[8].

Предложение 1. Каждая из описанных прямых ${\displaystyle l_{1},\,l_{2},\,\dots ,\,l_{k}}$ представляет собой опорную прямую данной фигуры ${\displaystyle M}$^[8].

Доказательство. Поскольку, по условию, фигура ${\displaystyle M}$ полностью принадлежит полуплоскости ${\displaystyle H_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\,2,\,\dots ,\,k}$, то она находится по по дну сторону от прямой ${\displaystyle l_{i}}$. Предположим, что прямая ${\displaystyle l_{i}}$ совсем не имеет общих точек с фигурой ${\displaystyle M}$, получим, что полуплоскость ${\displaystyle H_{i}}$ лишняя, что противоречит тому условию, что ${\displaystyle M}$ — выпуклый ${\displaystyle n}$-сторонник и среди плоскостей ${\displaystyle H_{1},\,H_{2},\,\dots ,\,H_{k}}$ нет лишних^[8]. □

Двумерный выпуклый многосторонник

Лишняя полуплоскость

Рассмотрим свойства двумерного выпуклого многосторонника ${\displaystyle M}$^[8].

Предложение 1. Каждая прямая ${\displaystyle l_{i}}$ из опорных прямых ${\displaystyle l_{1},\,l_{2},\,\dots ,\,l_{k}}$ пересекается с границей двумерного выпуклого многосторонника ${\displaystyle M}$ либо по отрезку, либо по лучу, либо целиком лежит на границе ${\displaystyle M}$^[8].

Доказательство. Поскольку, по условию, фигура ${\displaystyle M}$ полностью принадлежит полуплоскости ${\displaystyle H_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\,2,\,\dots ,\,k}$, то она находится по по дну сторону от прямой ${\displaystyle l_{i}}$. Предположим, что прямая ${\displaystyle l_{i}}$ имеет только одну общую граничную точку с границей фигуры ${\displaystyle M}$, получим, что полуплоскость ${\displaystyle H_{i}}$ лишняя, что противоречит тому условию, что ${\displaystyle M}$ — выпуклый ${\displaystyle n}$-сторонник и среди плоскостей ${\displaystyle H_{1},\,H_{2},\,\dots ,\,H_{k}}$ нет лишних^[8]. □

• Множества пересечений опорной прямой и границы фигуры
• 
  Отрезок
• 
  Луч
• 
  Прямая

Сторона выпуклого многосторонника — часть опорной прямой выпуклого многосторонника, принадлежащей его границе^[6].

У выпуклого ${\displaystyle n}$-сторонника ${\displaystyle n}$ сторон^[6].

Вершина выпуклого многосторонника — конец стороны выпуклого многосторонника^[6].

Альтернативное определение: сторона выпуклого многосторонника — вся опорная прямая выпуклого многосторонника^[6][9].

Рассмотрим двумерный выпуклый ${\displaystyle n}$-сторонник ${\displaystyle M}$ при ${\displaystyle n\geqslant 2}$. Граница такого многосторонника ${\displaystyle M}$ есть ${\displaystyle n}$-звенная ломаная. Если многосторонник ${\displaystyle M}$ ограничен, то эта ломаная замкнута, если не ограничен, то эта ломаная включает два луча. В первом случае у многосторонника ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ вершин, во втором — ${\displaystyle n-1}$^[6].