Выпуклый слой

У этого термина существуют и другие значения, см. Выпуклый слой (значения).

Не следует путать с выпуклым слоем вычислительной геометрии и слоем расслоения, который может быть и выпуклым.

Вы́пуклый слой^[1] — понятие комплексного анализа, раздела математики, точечное множество

${\displaystyle C=A\setminus {\bar {B}}}$

Сферический слой с внутренним радиусом ${\displaystyle r}$ и внешним радиусом ${\displaystyle R}$. Справа: две половины слоя

где ${\displaystyle B\subset A}$ — выпуклые ограниченные области, причём замыкание ${\displaystyle {\bar {B}}\subset A}$^[2].

В случае, когда обе области ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — концентрические сферы, то получаем частный случай выпуклого слоя — сферический слой^[3].

Определение выпуклого слоя

Выпуклый слой — точечное множество ${\displaystyle C}$ комплексно-вещественного пространства

${\displaystyle \mathbb {E} ^{2m+n}=\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}=}$

${\displaystyle =\{z_{1},\,\dots ,\,z_{m},\,u_{1},\,\dots ,\,u_{n}\},\,}$

${\displaystyle m,\,n\geqslant 0,\quad 2m+n\geqslant 2,}$

такое, что

${\displaystyle C=A\setminus {\bar {B}}}$,

где ${\displaystyle B\subset A\subset \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}}$ — выпуклые ограниченные области, причём замыкание ${\displaystyle {\bar {B}}\subset A}$^[2].

В случае, когда обе области ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — концентрические сферы, то получаем частный случай выпуклого слоя — сферический слой^[3].

Структура выпуклого слоя

Представим структуру выпуклого слоя ${\displaystyle C=A\setminus {\bar {B}}}$ в следующем комплексно-вещественном пространстве^[2]:

${\displaystyle \mathbb {E} ^{n+2}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}=\{z,\,u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{n}\},\,n\geqslant 1.}$

1. Вещественные проекции. Вещественная структура выпуклого слоя выглядит следующим образом. Спроектируем определённые выше точечные множества ${\displaystyle A,\,B,\,C\subset \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}}$, на вещественное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\{u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{n}\},\,n\geqslant 1.}$ Получим следующие проекции^[2]:

• проекция выпуклой области ${\displaystyle A}$ — выпуклая область ${\displaystyle U_{A}\subset \mathbb {R} ^{n}}$;
• проекция выпуклой области ${\displaystyle B}$ — выпуклая подобласть ${\displaystyle U_{B}\subset U_{A}\subset \mathbb {R} ^{n}}$;
• проекция области ${\displaystyle C}$ — область ${\displaystyle U_{C}\subset U_{A}\subset \mathbb {R} ^{n}}$.

В этом случае выпуклый слой есть снова разность двух точечных множеств ${\displaystyle U_{C}=U_{A}\setminus {\overline {U_{B}}}}$, ${\displaystyle {\overline {U_{B}}}\subset U_{A}}$, а при ${\displaystyle n=1}$ множество ${\displaystyle U_{C}}$ — два непересекающихся интервала оси ${\displaystyle u}$^[2].

2. Комплексные слои. Комплексная структура выпуклого слоя в комплексно-вещественном пространстве выглядит следующим образом. Для этого представим точечные множества ${\displaystyle A,\,B\subset \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}}$ в виде множества срезов-«слоёв»^[2]:

${\displaystyle A=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}\colon \,u\in U_{A},\,z\in D_{A}(u)\},}$

${\displaystyle C=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}\colon \,u\in U_{A},\,z\in D_{C}(u)\}.}$

В этом случае достаточно очевидно, что если ${\displaystyle u\in U_{A}\setminus U_{\bar {B}}}$, то оба множества ${\displaystyle D_{A}(u)}$ и ${\displaystyle D_{C}(u)}$ суть двумерные выпуклые области, а если ${\displaystyle u\in U_{\bar {B}}}$, то множество ${\displaystyle D_{C}(u)}$ образуется из множества ${\displaystyle D_{A}(u)}$ путём исключения одной точки или некоторой замкнутой кривой со своей внутренностью^[4].

Сферический слой

Основная статья: Сферический слой

Не следует путать с шаровым слоем и полноторием.

Сферический слой с внутренним радиусом ${\displaystyle r}$ и внешним радиусом ${\displaystyle R}$. Справа: две половины слоя

Сферический слой — область, заключённая между двумя концентрическими сферами различных радиусов^[5][6][3].

Устаревшие синонимы: сферическая оболочка^[7]; шаровой слой^[8].

Тонкий сферический слой может называться тонкостенной сферой (англ. thin-walled spherical shell^[9])^[10].

Сферический слой представляет собой частный случай выпуклого слоя^[3].

Определение сферического слоя

Сферический слой — точечное множество ${\displaystyle S}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z)}$, которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров с центром в точке ${\displaystyle a}$, где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шар^[3]:

${\displaystyle S=B(a,\,R)\setminus {\bar {B}}(a,\,r),\quad }$ ${\displaystyle 0<r<R}$,

или сразу как следующее обобщённое кольцо с центром в начале координат^[11][12]:

${\displaystyle S=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,r<|z|<R,\,0<r<R\}}$.

В случае простейшего комплексно-вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} (z,\,u)}$ сферический слой ${\displaystyle S}$ с центром в начале координат можно определить следующей формулой^[11]:

${\displaystyle S=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} \colon \,r^{2}<|z|^{2}+u^{2}<R^{2}\}.}$

Слой бикруга

Основная статья: Поликруг

Слой бикруга — область, заключённая между двумя концентрическими границами различных бикругов^[13].

Слой бикруга — точечное множество ${\displaystyle \Omega }$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}(z)}$, который можно определить как следующую разность двух концентрических бикругов с центром в начале координат, где вычитаемое — замыкание бикруга^[13]:

${\displaystyle \Omega \equiv \Delta ^{2}(0,\,R)\setminus {\bar {\Delta }}^{2}(0,\,r),\quad }$ ${\displaystyle 0<r<R.}$